Velocidad angular de un elemento fluido

Si tenemos un elemento fluido que está sometido a:

  • Traducción
  • Rotación
  • Tensión extensional (dilatación)
  • Tensión de corte

Como en esta imagen a partir del tiempo. t ingrese la descripción de la imagen aquí

se puede demostrar que los ángulos d α y d β igual ∂ v ∂ X d t y ∂ tu ∂ y d t respectivamente, la mayoría de los libros de texto que he encontrado definen la tasa de rotación (velocidad angular) de este elemento fluido como el promedio de la tasa de rotación de los dos ángulos (el signo menos debido a la diferencia en las direcciones de rotación):

ω = 1 2 ( ∂ v ∂ X − ∂ tu ∂ y )

Mi pregunta es sobre la precisión de esta definición, ¿cómo sabemos que la tasa de rotación del elemento fluido es simplemente la tasa de la media aritmética de d α y d β ? ¿Qué sucede si un lado se deforma a una velocidad mucho mayor que el otro?

Respuestas (3)

Es importante tener en cuenta que estos desplazamientos son todos infinitesimales, por lo que mientras uno puede ser miles de veces el otro, durante un intervalo de tiempo infinitesimal el desplazamiento sigue siendo infinitesimal. Si un desplazamiento es mucho mayor que el otro, entonces ese desplazamiento será efectivamente la mitad de rotación y la mitad de distorsión, si girara el fluido hacia atrás, entonces los dos ejes se desplazarían por igual. La razón por la que no hay un término cuadrado o senos o cosenos es que esta es una aproximación lineal, que funciona porque todos los desplazamientos son infinitesimales.

Aquí hay una forma alternativa de relacionar la vorticidad (denotada como ω → ) y la velocidad angular media que creo que es más transparente.

Considere la velocidad angular promedio alrededor de un bucle infinitesimal de radio yo :

1 2 π yo ∮ ∂ A tu → yo ⋅ d s →

Por el teorema de Stokes, encontramos

1 2 π yo ∮ ∂ A tu → yo ⋅ d s → = 1 2 π yo 2 ∫ A ω → ⋅ d A →

Tomando yo → 0 , encontramos

1 2 π yo ∮ ∂ A tu → yo ⋅ d s → → 1 2 ω → como yo → 0.

Entonces, llegamos al mismo resultado que encontró para el cuadrado que consideró, pero en este caso hemos promediado sobre un conjunto continuo de valores del momento angular, en lugar de solo el momento angular de los dos elementos lineales.

Tenga en cuenta que es la vorticidad, no el momento angular, lo que nos importa en la mecánica de fluidos (de hecho, la vorticidad es la propiedad que caracteriza a un fluido).

Espero que esto ayude. No dude en hacer cualquier pregunta para mayor claridad.

En el tiempo d t su diagrama muestra la transformación infinitesimal M que se le hizo a la caja (por ejemplo, las esquinas de la caja):

METRO = I + [ 0 d β d α 0 ]
= I + [ 0 1 2 ( d β + d α ) 1 2 ( d β + d α ) 0 ] + [ 0 1 2 ( d β − d α ) − 1 2 ( d β − d α ) 0 ]
Esto dice que la caja fue paralelepipédica tensa por 1 2 ( d β + d α ) radianes y rotado por 1 2 ( d β − d α ) radianes La tensión y la rotación se pueden hacer simultáneamente como están escritas o en cualquier orden (porque los ángulos son infinitesimales):
= ( I + [ 0 1 2 ( d β + d α ) 1 2 ( d β + d α ) 0 ] ) ( I + [ 0 1 2 ( d β − d α ) − 1 2 ( d β − d α ) 0 ] )
= ( I + [ 0 1 2 ( d β − d α ) − 1 2 ( d β − d α ) 0 ] ) ( I + [ 0 1 2 ( d β + d α ) 1 2 ( d β + d α ) 0 ] )
Dado que la rotación se hizo en un tiempo d t segundos, la caja tiene una velocidad angular de 1 2 ( d β − d α ) radianes por segundo.

Velocidad angular de un elemento fluido
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