Superficie libre de flujo de fluido no viscoso

Question

Superficie libre de flujo de fluido no viscoso

N. Virgo

El siguiente problema parece que debería tener una solución definitiva, pero lo he estado pensando durante meses y no he llegado a ninguna parte. Puede que no sea un problema bien planteado, pero si no lo es, me gustaría entender por qué.

Un fluido de densidad incompresible e invisible. $\rho$ fluye continuamente (en un estado estable) como se muestra en el siguiente diagrama:

diagrama

Conocemos la altura del fluido (y por lo tanto su presión) en los puntos $x_1$ y $x_2$ , pero no conocemos la velocidad del fluido o su altura en cualquier otro valor para $x$ . La parte superior del fluido es una superficie libre, es decir, está determinada por las propiedades del flujo en lugar de especificarse como parte del problema. Lo dibujé como ligeramente cóncavo, pero no tengo idea si eso es correcto.

Supongamos que el perfil de velocidad en $x_1$ es vertical (es decir, la velocidad no varía con la altura sobre el punto $x_1$ ). Debido a que el fluido no es viscoso, me parece que el perfil de velocidad vertical constante debe mantenerse a medida que el fluido se desplaza hacia la derecha. Entonces, si tuviéramos que teñir una línea vertical del fluido de un color particular, seguiría siendo una línea vertical mientras viaja hacia la derecha, porque el diferencial de presión a lo largo de la línea es constante con la profundidad. Si esto es correcto, significa que podemos pensar en el componente de velocidad en el $x$ -dirección, $v_x$ , como una función de $x$ en vez de $x$ y $y$ .

Como el flujo es incompresible sabemos que $h(x)v_x(x)$ debe ser constante en el espacio, y este es el valor que quiero resolver (aunque puede que no tenga un valor único; en ese caso, solo quiero saber la función $h(x)$ ). Si lo necesitamos, también podemos suponer que conocemos las velocidades inicial y final, $v_x(x_1)=v_1$ y $v_x(x_2)=v_2$ .

Parece que la ecuación de Bernoulli debería tener alguna relevancia aquí. Sin duda, ese sería el caso si el fluido estuviera confinado a una tubería en lugar de tener una superficie libre. (En este caso, la diferencia de presión sería independiente de la diferencia de altura, por lo que también deberíamos saberlo). Pero cada vez que trato de resolver este problema usando la ecuación de Bernoulli, me meto en un lío terrible. Realmente no estoy seguro de cuál es la mejor manera de abordar este problema, por lo que cualquier idea que alguien pueda ofrecer sería muy apreciada.

genero

Estoy bastante seguro de que su "línea vertical permanece vertical" no es necesariamente cierto...

Maksim Zholudev

Estoy de acuerdo con @genneth. La condición

\frac{\partial v_{x}}{\partial y} = 0

$\frac{\partial v_x}{\partial y} = 0$ no se sigue de la viscosidad cero. Esto podría ser una suposición adicional ya que no hay suficientes datos. Pero la aproximación de la OMI del flujo potencial es una mejor suposición para este caso.

N. Virgo

Edité la pregunta para dejar en claro que asumo que el perfil de velocidad inicial es vertical. Creo que la inviscibilidad debería implicar que este perfil vertical constante debe mantenerse en el espacio. Sin embargo, no estoy 100% seguro, tendré que ver si puedo pensar en un argumento que justifique eso.

yohBS

(1) Estoy de acuerdo con los compañeros que están por encima de mí en este punto: la inviscibilidad no implica

\partial_{y} v_{x} = 0

$\partial_y v_x=0$ . (2) si en

x_{1}

$x_1$ la velocidad es independiente de

y

$y$ , entonces porque es horizontal en

y = 0

$y=0$ , también debe ser horizontal para

y = h (x_{1})

$y=h(x_1)$ , y por lo tanto

\partial_{x} h (x_{1}) = 0

$\partial_x h(x_1)=0$ , y la tangente a la superficie libre será horizontal en el lado izquierdo. (3) El problema no está definido si no especifica el perfil completo de

\vec{v} (y)

$\vec v(y)$ en ambos bordes del problema. (4) ¡Esta es una muy buena pregunta! Estoy poniendo una recompensa.

Respuestas (1)

Superficie libre de flujo de fluido no viscoso

Estoy bastante seguro de que su "línea vertical permanece vertical" no es necesariamente cierto...
Estoy de acuerdo con @genneth. La condición $\frac{\partial v_x}{\partial y} = 0$ no se sigue de la viscosidad cero. Esto podría ser una suposición adicional ya que no hay suficientes datos. Pero la aproximación de la OMI del flujo potencial es una mejor suposición para este caso.
Edité la pregunta para dejar en claro que asumo que el perfil de velocidad inicial es vertical. Creo que la inviscibilidad debería implicar que este perfil vertical constante debe mantenerse en el espacio. Sin embargo, no estoy 100% seguro, tendré que ver si puedo pensar en un argumento que justifique eso.
(1) Estoy de acuerdo con los compañeros que están por encima de mí en este punto: la inviscibilidad no implica $\partial_y v_x=0$ . (2) si en $x_1$ la velocidad es independiente de $y$ , entonces porque es horizontal en $y=0$ , también debe ser horizontal para $y=h(x_1)$ , y por lo tanto $\partial_x h(x_1)=0$ , y la tangente a la superficie libre será horizontal en el lado izquierdo. (3) El problema no está definido si no especifica el perfil completo de $\vec v(y)$ en ambos bordes del problema. (4) ¡Esta es una muy buena pregunta! Estoy poniendo una recompensa.

Maksim Zholudev · Answer 1

El fluido es incompresible y no tiene fuentes en su interior. Esto significa que la ecuación de continuidad (conservación de masa) es

división \vec{v} = 0. (1)

$\text{div}\,\vec{v} = 0. \qquad (1)$ Ahora seguimos el procedimiento estándar y representamos

\vec{v}

$\vec{v}$ como sigue:

\vec{v} = putrefacción \vec{A} .

$\vec{v} = \text{rot}\,\vec{A}.$ La divergencia de cualquier rotacional es cero, por lo que la ecuación (1) se satisface con cualquier campo vectorial suave

\vec{A} (\vec{r})

$\vec{A}(\vec{r})$ .

Para flujo bidimensional podemos asumir

\vec{A} = (0, 0, ψ (X, y))

$\vec{A} = \Bigl(0, 0, \psi(x,y)\Bigr)$ de modo que

v_{X} = \frac{\partial ψ}{\partial y}; v_{y} = - \frac{\partial ψ}{\partial X} . (2)

$v_x = \frac{\partial \psi}{\partial y}; \quad v_y = -\frac{\partial \psi}{\partial x}. \qquad (2)$

en dinámica de fluidos $\psi(x,y)$ se llama función de corriente porque las líneas de constante $\psi$ son las líneas de corriente .

Tenemos dos líneas de corriente conocidas:

y = h (X)

$y = h(x)$ y

y = 0.

$y = 0.$ Seleccionemos la función de flujo de la siguiente manera:

ψ (X, y) = C \frac{y}{h (X)} . (3)

$\psi(x,y) = C\frac{y}{h(x)}. (3)$ Para la línea de corriente superior tenemos

ψ = C

$\psi=C$ y para la linea inferior

ψ = 0

$\psi=0$ . Esta es una suposición fuerte y el punto principal de la solución. la selección de

ψ

$\psi$ no es definitivo aquí. La fórmula (3) es intuitiva, da líneas de corriente que son similares a

h (x)

$h(x)$ pero viniendo más recto mientras se acerca al fondo.

Ahora podemos usar (2) y (3) para encontrar $\vec{v}$ :

\vec{v} (X, y) = (\frac{C}{h (X)}, C y \frac{h^{'} (X)}{h^{2} (X)}) (4)

$\vec{v}(x,y) = \left(\frac{C}{h(x)},\; Cy\frac{h'(x)}{h^2(x)}\right) \qquad (4)$ dónde

C

$C$ es una constante determinada por las condiciones de contorno.

El campo de velocidad depende de la función desconocida $h(x)$ .

Hallazgo $h(x)$

Función $h(x)$ se puede encontrar aplicando la ecuación de Bernoulli a la línea de corriente superior. La ecuación de Bernoulli para un fluido incompresible es

\frac{v^{2} (X, y (X))}{2} + \frac{pag (X, y (X))}{ρ} + gramo y (X) = constante

$\frac{v^2\bigl(x, y(x)\bigr)}{2} + \frac{p\bigl(x, y(x)\bigr)}{\rho} + gy(x) = \text{const}$ dónde

y (x)

$y(x)$ es la línea de corriente,

p (x, y)

$p(x,y)$ es la presión,

ρ

$\rho$ es la densidad del fluido,

g

$g$ es la aceleración gravitacional.

La línea de corriente superior $y(x)=h(x)$ está en equilibrio con el aire de la atmósfera. Esto significa que la presión del fluido es igual a la presión atmosférica:

pag (X, y (X)) = {pag}_{0} .

$p\bigl(x, y(x)\bigr) = p_0.$ Entonces

\frac{v^{2} (X, h (X))}{2} + gramo h (X) = constante - \frac{{pag}_{0}}{ρ} = D (5)

$\frac{v^2\bigl(x, h(x)\bigr)}{2} + gh(x) = \text{const} - \frac{p_0}{\rho} = D \qquad (5)$

La sustitución de (4) en (5) da la ecuación diferencial para $h(x)$ :

\frac{C^{2}}{2 h^{2}} (1 + h^{' 2}) + gramo h = D

$\frac{C^2}{2h^2}\left(1 + h'^2\right) + gh = D$ o

\frac{d h}{d X} = \sqrt{\frac{2 h^{2}}{C^{2}} (D - gramo h) - 1}

$\frac{dh}{dx} = \sqrt{\frac{2h^2}{C^2}(D-gh) - 1}$

h (X_{1}) = h_{1}

$h(x_1) = h_1$ Esto se puede resolver numéricamente si sabemos

C

$C$ y

D

$D$ .

Hallazgo $C$ y $D$

Los parametros $C$ y $D$ están determinados por las condiciones de contorno. Si conocemos la velocidad en el punto $(x_1, h_1)$ luego
de (4):

C = h_{1} v_{X} (X_{1}, h_{1})

$C = h_1 v_x(x_1, h_1)$ y de (5):

D = \frac{v^{2} (X_{1}, h_{1})}{2} + gramo h_{1}

$D = \frac{v^2(x_1, h_1)}{2} + gh_1$

Conclusión

Hay dos puntos débiles en esta solución:

el supuesto intuitivo (3);
las constantes indefinidas $C$ y $D$ .

Algunas condiciones de contorno pueden violar (3) y/o hacer el cálculo de $C$ y $D$ muy dificil.

Alternativa

Hay otra forma de seleccionar la función de transmisión.

Si suponemos que el flujo es potencial , el campo de velocidades tendrá la siguiente forma:

\vec{v} = \nabla φ

$\vec{v} = \nabla \varphi$ dónde

φ (x, y)

$\varphi(x,y)$ es el potencial del campo vectorial de velocidad.

Entonces además de (2) tendremos:

v_{X} = \frac{\partial φ}{\partial X}; v_{y} = \frac{\partial φ}{\partial y} . (6)

$v_x = \frac{\partial \varphi}{\partial x}; \quad v_y = \frac{\partial \varphi}{\partial y}. \qquad (6)$

Ahora podemos introducir el potencial complejo del flujo:

W (X + i y) = φ (X, y) + i ψ (X, y)

$W(x+iy) = \varphi(x,y) + i \psi(x,y)$ Las fórmulas (2) y (6) juntas son exactamente las condiciones de Cauchy-Riemann para la función

W (z)

$W(z)$ . Esto significa que

W (z)

$W(z)$ describe algún mapa conforme .

Si encontramos un mapa conforme $W(z)$ que convierte un rectángulo en el área azul de la imagen en la pregunta para cualquier $h(x)$ , entonces encontramos un flujo potencial (flujo con vorticidad cero) que resuelve el problema. Todavía se requerirán algunas manipulaciones para encontrar $h(x)$ .

de hecho cualquier $W(z)$ siempre convierte el flujo potencial bidimensional con

φ (X, y) = X

$\varphi(x,y) = x$

ψ (X, y) = y

$\psi(x,y) = y$ y

\vec{v} = (v_{X}, 0)

$\vec{v} = (v_x, 0)$ en algo más interesante y que aún se ajuste a las ecuaciones hidrodinámicas. Esto funciona sólo para flujos potenciales que no siempre son una buena aproximación .

Hallazgo de $W(z)$ en este caso es un problema matemático y tal vez debería discutirse en otro lugar.

Genial, muchas gracias. Esto me da mucha información general sobre cómo resolver este tipo de problema. Creo que los puntos débiles que mencionas no son tan malos para mis propósitos (y seguramente algo así se aplicará a cualquier solución). En particular, creo que tengo razón al decir que su elección de $\psi$ es el único que obedece a mi suposición de un perfil de velocidad inicial que es constante con la altura, por lo que se puede justificar de esa manera. Ciertamente parece ser la única opción que mantiene un perfil de velocidad constante de todos modos.
@Nathaniel, esta solución no es la única posible. He agregado algunos comentarios sobre la aproximación del flujo potencial a la publicación. El flujo potencial tiene vorticidad cero y una línea que inicialmente es vertical no permanecerá vertical en el caso que consideramos.

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Maksim Zholudev

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Respuestas (1)

Maksim Zholudev

Hallazgo $h(x)$

Hallazgo $C$ y $D$

Conclusión

Alternativa

N. Virgo

Maksim Zholudev

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Respuestas (1)

Maksim Zholudev

Hallazgoh ( x ) h ( X ) h(x)

HallazgoC C CyD D D

Conclusión

Alternativa

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Maksim Zholudev

Hallazgo $h(x)$

Hallazgo $C$ y $D$