Vehicle Driving off Cliff (película de Thelma y Louise)

Vayamos con suposiciones un poco más razonables. Aquí hay un Ford Thunderbird de 1965 (era un modelo de 1966 en la película, lo suficientemente cerca).

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/78/1965_Ford_Thunderbird_Convertible.jpg

Y aquí están sus especificaciones . La distancia entre ejes es de 2,9 m, mientras que la longitud total es de 5,2 m. Mirando la foto, pondría el diámetro de la rueda en aproximadamente 0,7 m y el espacio libre no más de 0,2 m. El eje delantero en sí parece estar alrededor de 0,8 m detrás del parachoques delantero, colocando el eje trasero 3,7 m detrás del parachoques delantero o 1,5 m delante del parachoques trasero. Colocaré generosamente dos tercios de la masa en el tercio delantero del automóvil (motor y todo), y el resto distribuido uniformemente en los dos tercios traseros:

$$\frac{dm}{dx} = \frac{m_0/3}{5.2 \cdot 2/3}:x<\frac{2}{3}5.2$$

y

$$\frac{dm}{dx} = \frac{2 m_0/3}{5.2 \cdot 1/3}:x>\frac{2}{3}5.2$$

Ahora encuentro el momento de inercia relativo al eje real, despreciando el hecho de que la masa puede estar distribuida ligeramente por encima de la altura del eje:

$$I=\int_0^{5.2} \frac{dm}{dx}(x-1.5)^2dx=5.87m_0$$

y el torque ejercido por la gravedad

$$\tau =\int_0^{5.2} \frac{dm}{dx}(x-1.5)g\,dx=1.97m_0 g$$

Reemplazando los valores SI uno debe obtener kg*m^2y kg*m^2/s^2unidades para la primera y segunda cantidad, respectivamente.

Entonces, tan pronto como no haya suelo debajo de las ruedas delanteras, podemos esperar que el automóvil experimente una aceleración angular de$\ddot{\phi} = \tau/I = 3.29 rad/s^2$.

Como el espacio libre es algo más pequeño incluso que el radio de la rueda, estamos bien para tratar con ángulos "pequeños". Tomar en el punto del vehículo$L$metros por delante del eje trasero. Tiempo después$t$pasará$L\phi = L \ddot\phi t^2/2$. Si el automóvil se mueve a una velocidad$v$, la longitud$L$es dado por$L_0-v t$dónde$L_0$es la distancia entre ejes. Entonces necesitamos la condición de que

$$(L_0-vt)\ddot\phi t^2/2<h$$

dónde$h$es liquidación. Esto debe mantenerse hasta$vt=L_0$. Esencialmente, la expresión de arriba (a la izquierda de la relación de desigualdad) es cuánto ha caído la punta del automóvil directamente sobre la repisa. Es una expresión cúbica, pero claramente tiene un máximo en alguna parte. Deriva y encuentra el máximo resolviendo, está en$t=2L_0/(3v)$. Conectando este valor obtenemos la restricción:

$$\frac{2 \ddot \phi L_0^3}{27 v^2} < h$$

y resolviendo la desigualdad encontramos$v>5.44 m/s$(o unos 20 km/h).

Dejo que el lector curioso considere que el Ford Thunderbird es un automóvil con tracción trasera, que puede generar alrededor de 6000 Newton-metros de torque en sus ruedas traseras y tiene una masa de alrededor de 2200 kg. Estos son datos suficientes para verificar si el motor puede evitar que se caiga demasiado rápido de la cornisa y hacer posible que se caiga por el acantilado a una velocidad inicialmente más baja.

La respuesta (ignorando los efectos de "péndulo" entre los dos ejes) es:

 Velocity = sqrt(2 x Gravity) x wheelbase/ (sqrt (27 x clearance))

No tengo idea de qué es la magia en 27, pero esto NO es un truco; Derivé esto matemáticamente. He escrito la derivación en un documento de Word, pero no he descubierto cómo cargar el documento, ni la hoja de cálculo que uso para verificar los resultados.

$$Velocity = \frac{{wheelbase*\sqrt{2*Gravity}}}{\sqrt{27*clearance}}$$

La parte delantera del vehículo cae con la aceleración de la gravedad, girando sobre el eje trasero a medida que el sistema avanza a la velocidad . Cuando la caída en la parte delantera multiplicada por la distancia desde el eje trasero hasta el borde del precipicio es igual a la distancia entre ejes por el espacio libre (vehículo) , el vehículo toca el borde del precipicio en UN punto.

Tomar la primera derivada de esta ecuación e igualarla a cero produce un término para el tiempo (t) que se puede reemplazar en la ecuación original para producir una velocidad que hace que el punto de contacto (arriba) sea el máximo para la ecuación.

Para un vehículo con una distancia entre ejes de 10 pies y un espacio libre de 1 pie, la velocidad crítica es de 15,40 pies por segundo (utilice 32 para Gravedad). El espacio libre cero está en t = 0,43.

La hermosa respuesta de Lliam (más realista, más sofisticada) me inspiró a intentar cargar nuevamente la explicación de MI respuesta, arriba. La similitud entre mi respuesta y la de Lliam es extensa, y las diferencias presumiblemente se explican por su incorporación del efecto de péndulo con respecto al eje trasero. La gran diferencia es que su respuesta usa la distancia entre ejes a la potencia 1.5 (raíz cuadrada del cubo), mientras que la mía usa la distancia entre ejes en el primer orden (1).

La solución se deriva de la observación geométrica de que la caída de la parte delantera del vehículo multiplicada por la distancia desde la parte trasera del vehículo hasta el borde del acantilado es igual a la distancia entre ejes multiplicada por el espacio libre en los momentos en que la parte inferior del vehículo hace contacto con el borde del acantilado, o

Distancia al borde * Caída del frente = espacio libre * distancia entre ejes DF = CW

La caída por la distancia restante cuando hay espacio entre el fondo del vehículo y el borde del acantilado es siempre menor que el despeje del vehículo por su distancia entre ejes, por lo que el punto donde los dos productos son exactamente iguales debe constituir el valor máximo de la caída multiplicada por la distancia restante. Si este producto excede el producto de las características del vehículo, entonces el borde del acantilado y el vehículo están en contacto positivo (interferencia).

La distancia (horizontal) al borde es la distancia entre ejes menos la velocidad por el tiempo ; la caída del frente es la aceleración gravitacional (G) por el tiempo al cuadrado dividido por 2. Sustituyendo estas expresiones en la fórmula anterior se obtiene:

$$(wheelbase -(velocity * time)) * \frac{G * time^2}{2} = clearance * wheelbase$$ Resolviendo esta ecuación para el espacio libre se obtiene: $$clearance = \frac{(G * time^2) * (wheelbase - velocity * time)}{2 * wheelbase}$$ La primera derivada de esta ecuación con respecto al tiempo es $$\frac{dclearance}{dtime} = \frac{2G * time * wheelbase - 3G * time^2 * velocity}{2 * wheelbase}$$ Cuando esta expresión se evalúa como cero ( tiempo >0) y menos que el tiempo que las ruedas traseras pasan por encima del borde del acantilado, la expresión de espacio libre anterior es máxima.

Establecer la expresión de la primera derivada anterior igual a cero y resolver para el tiempo da

$$clearance = \frac{2 * wheelbase}{3 * velocity}$$ Sustituyendo esta expresión por tiempo en la expresión de espacio libre anterior se obtiene $$clearance = \frac{2G * wheelbase^2}{27 * velocity}$$ Resolviendo para la velocidad entonces da $$Velocity = \frac{wheelbase * \sqrt{2G}}{\sqrt{27 * clearance}}$$ que produce la velocidad mínima para una distancia entre ejes y un espacio libre para pasar el borde del acantilado sin contacto con la parte inferior del vehículo.

Ejemplo: un vehículo con una distancia entre ejes de 10 pies y un espacio libre de 1 pie debe moverse a una velocidad de al menos 15,4 pies por segundo, o 10,5 millas por hora, para pasar el borde de un acantilado sin interferencia entre el borde de el acantilado y la parte inferior del vehículo.

Esta solución no tiene en cuenta la aceleración lateral que de hecho se produciría cuando el vehículo gira sobre su eje trasero, una situación comparable a la liberación de un péndulo en un ángulo de 90 grados. Esta omisión sesga las soluciones de velocidad hacia arriba, más a medida que aumenta la relación entre el espacio libre y la distancia entre ejes.

Mis disculpas por usar unidades imperiales. Tengo 70 años y cuando trabajo en mi Corvair de 50 años, uso esas unidades. Cuando trabajo en mi Acura, por otro lado, solo uso unidades métricas. El Thunderbird de 1966 de T & L también se dimensionó con esas unidades.