Una pregunta sobre el cálculo del radio de un cometa.

Aquí está mi enfoque para resolver este problema. Usted proporciona algunos de los pasos iniciales, pero aún los revisaré solo para completar.

Distancia orbital

Nos dicen que el período es$T=5.5\:\mathrm{years}$. Esto significa que podemos calcular inmediatamente la distancia orbital (o más precisamente, el eje semi-mayor,$a$). Como estamos hablando de un cometa que orbita alrededor del Sol, simplemente podemos usar:

$$T^2 = a^3$$

donde$T$es el periodo orbital en unidades de$\mathrm{years}$y$a$es el semieje mayor en unidades de$\mathrm{AU}$. encontré eso$a = 3.116\:\mathrm{AU} = 4.66\times 10^{11}\:\mathrm{m}$. Bien hasta ahora.

Volumen de Shell Evaporado

Se nos dice que el radio del cometa disminuye en$\Delta R = 20\:\mathrm{cm}$. Podemos suponer que el cometa es perfectamente esférico y calcular el volumen de la capa evaporada que debería depender de ambos$R$, el radio del cometa, y$\Delta R$. Esto será necesario ya que necesitamos saber la cantidad total de hielo que se evaporó. El volumen de esta capa está dado por

$$V = \frac{4}{3}\pi(R^3-(R-\Delta R)^3)$$ $$V = \frac{4}{3}\pi(R^3-R^3+3R^2\Delta R-3R\Delta R^2 + \Delta R^3)$$ $$V = \frac{4}{3}\pi(3R^2\Delta R-3R\Delta R^2)$$ $$V = 4\pi R^2\Delta R\left(1-\frac{\Delta R}{R}\right)$$

Tenga en cuenta que he hecho una elección específica aquí. he dejado caer el$\Delta R^3$término de la segunda línea. La razón es que es un término de tercer orden y$\Delta R^3 \ll R\Delta R^2$. Se podría argumentar que podría descartar el término de segundo orden,$R\Delta R^2$ya que$R\Delta R^2 \ll R^2\Delta R$, pero elijo mantener este término de segundo orden para que terminemos con un$R$para resolver en la respuesta final.

Entrada de alimentación

El siguiente paso es encontrar la entrada total de energía por segundo a este cometa, por ejemplo, la potencia. Básicamente ya ha definido esta parte. El flujo en este cometa se define como

$$F = \frac{L_\odot}{4\pi a^2}$$

La potencia de entrada es simplemente el flujo multiplicado por el área del cometa.

$$P_{\mathrm{in}} = FA = \frac{L_\odot}{4\pi a^2} \pi R^2 = \frac{1}{4}L_\odot \frac{R^2}{a^2}$$

Tenga en cuenta que esto supone que el cometa está en una órbita circular y, por lo tanto, siempre en el radio orbital de$a$. Si la órbita del cometa tuviera algún tipo de excentricidad, entonces$F$sería una función del radio y lo tendrías mucho más difícil.

Energía de evaporación

Ahora necesitamos calcular la energía total necesaria para evaporar la capa de volumen evaporada$V$desde arriba. Para evaporar un hielo sólido, debe pasar por cuatro etapas de calentamiento. Primero, elevas la temperatura del hielo hasta el punto de fusión. La entrada de energía para esto se define por la capacidad calorífica específica del hielo,$c_{\mathrm{ice}}$. Luego agregas energía para convertir el hielo en agua. La entrada de energía para esto se define por el calor latente de fusión,$\ell_f$. Ahora puedes subir la temperatura del agua hasta que llegue a la siguiente etapa. Esto se define por el calor específico del agua,$c_{\mathrm{water}}$. Finalmente, agrega energía para convertir el agua en gas, definida por el calor latente de vaporización,$\ell_v$.

Todo esto se puede juntar en una sola ecuación.

$$E_{\mathrm{evap}} = c_{\mathrm{ice}}(m_{\mathrm{shell}}\Delta T_1) + \ell_fm_{\mathrm{shell}}+c_{\mathrm{water}}(m_{\mathrm{shell}}\Delta T_2) + \ell_vm_{\mathrm{shell}}$$

$$E_{\mathrm{evap}} = (c_{\mathrm{ice}}\Delta T_1 + \ell_f +c_{\mathrm{water}}\Delta T_2 + \ell_v)m_{\mathrm{shell}}$$

Cada uno de los términos de esta ecuación representa la entrada de energía de una de las etapas que describí anteriormente. Tenga en cuenta que$\Delta T_1$es el cambio de temperatura desde la temperatura inicial hasta el punto de fusión ($273.15\:\mathrm{K}$). Un cambio de temperatura razonable podría ser$73.15\:\mathrm{K}$(suponiendo una temperatura inicial de$200\:\mathrm{K}$), basado en la temperatura del cometa 67P determinada por Rosetta . Él$\Delta T_2$es el cambio de temperatura desde el punto de fusión hasta el punto de ebullición que es necesariamente$100\:\mathrm{K}$.

Puedes buscar en una tabla en algún lugar y encontrar que$c_{\mathrm{ice}} = 2.108\:\mathrm{kJ\:kg^{-1}\:K^{-1}}$y$c_{\mathrm{water}} = 4.187\:\mathrm{kJ\:kg^{-1}\:K^{-1}}$.

Por último, debe definir la masa de la capa evaporada,$m_{\mathrm{shell}}$. Este es simplemente el volumen ya determinado, multiplicado por la densidad del hielo/agua. Técnicamente, esas densidades serán diferentes, pero están lo suficientemente cerca como para que podamos usar$\rho_{shell} = 1000\:\mathrm{kg\:m^3}$. Así que finalmente tenemos:

$$E_{\mathrm{evap}} = (c_{\mathrm{ice}}\Delta T_1 + \ell_f +c_{\mathrm{water}}\Delta T_2 + \ell_v)V \rho_{\mathrm{shell}}$$

En aras de la simplicidad, voy a definir

$$\eta \equiv (c_{\mathrm{ice}}\Delta T_1 + \ell_f +c_{\mathrm{water}}\Delta T_2 + \ell_v)$$

así que eso

$$E_{\mathrm{evap}} = 4\pi \eta \rho_{\mathrm{shell}} R^2\Delta R\left(1-\frac{\Delta R}{R}\right)$$

Poniendolo todo junto

Ahora sabemos la energía total necesaria para evaporar el cometa$20\:\mathrm{cm}$cáscara, así como la entrada de energía por segundo. Sabemos que recibe esta entrada de energía por segundo durante un período orbital de$5.5\:\mathrm{years}$lo que significa que podemos decir:

$$T = \frac{E_{\mathrm{evap}}}{P_{\mathrm{in}}}$$

$$T = \frac{4\pi \eta \rho_{\mathrm{shell}} R^2\Delta R\left(1-\frac{\Delta R}{R}\right)}{\frac{1}{4}L_\odot \frac{R^2}{a^2}}$$

$$T = 8\pi \eta \rho_{\mathrm{shell}} \Delta R \frac{a^2}{L_\odot} \left(1-\frac{\Delta R}{R}\right)$$

Nuevamente, por simplicidad, definiré

$$\xi \equiv 8\pi \eta \rho_{\mathrm{shell}} \Delta R \frac{a^2}{L_\odot}$$

así que eso

$$T = \xi \left(1-\frac{\Delta R}{R}\right)$$

Debería ser bastante fácil ver ahora que

$$\boxed{R = \frac{\Delta R}{1-T/\xi}}$$

El resto es enchufar todo.