No axiomatizabilidad y ultraproductos

Para empezar, aquí hay una respuesta negativa condicional (en realidad, cualquier extensión compacta adecuada de$\mathsf{FOL}$puede hacer rodar la pelota, pero esta es realmente genial) :

Si agregamos la capacidad de cuantificar sobre isomorfismos de campos ordenados en un sentido preciso, obtenemos una lógica compacta$\mathcal{L}(Q_\mathsf{Of})$; véase Mekler/Shelah 1993 . La clase$\mathfrak{K}$de campos rígidos ordenados es$\mathcal{L}(Q_{\mathsf{Of}})$-definible, por lo que su no elementalidad (= no-$\mathsf{FOL}$-definibilidad) no se puede descartar simplemente por motivos de compacidad. Además, todos los ultraproductos no triviales sobre$\omega$están numerablemente saturados, por lo que suponiendo$\mathsf{CH}$cualquier ultraproducto no trivial sobre$\omega$del campo rígido ordenado$\mathbb{Q}$debe ser no rígido (estar contablemente saturado y de tamaño$\aleph_1$). Así que condicionalmente$\mathsf{CH}$tenemos una respuesta negativa simple a su pregunta: la no elementalidad de$\mathfrak{K}$no se puede establecer solo por la compacidad, sino que se puede establecer usando ultrapoderes.

Bien, ahora pensemos en deshacernos de$\mathsf{CH}$...

Una idea inmediata es usar un teorema de absolutidad . En concreto, la sentencia

$(*)\quad$"Hay un campo ordenado no rígido contable isomorfo a$\mathbb{Q}$"

es$\Sigma^1_1$, y por el argumento anterior más Lowenheim-Skolem hacia abajo sabemos que$(*)$sigue desde$\mathsf{CH}$. El absoluto de Mostowski nos da entonces$(*)$incondicionalmente

Pero hay un serio inconveniente en este enfoque (además del obvio "¿pero por qué ?"). La aparición de Lowenheim-Skolem a la baja en realidad debería ser muy decepcionante. El teorema de Lindstrom dice que la lógica de primer orden es máxima con respecto a la compacidad y (una forma muy débil de) Lowenheim-Skolem descendente. En consecuencia, en cierto sentido, cualquier hecho de no axiomatizabilidad es una consecuencia puramente abstracta de la compacidad y Lowenheim-Skolem descendente. Entonces, si queremos crear una situación en la que los ultraproductos sean suficientes y la compacidad por sí sola no, debemos evitar Lowenheim-Skolem.

Parece más razonable, por lo tanto, tratar de probar directamente en$\mathsf{ZFC}$eso$\mathbb{Q}$tiene una ultrapotencia no rígida. Hay un gran teorema que nos permite hacer esto en una sola línea: los ultrapoderes conservan hacia arriba la no rigidez, por lo tanto, aplique Keisler-Shelah dado un campo ordenado no rígido$F\equiv \mathbb{Q}$. Por supuesto, incluso si estamos de acuerdo en incluir un gran teorema como KS en el cuadro, aún queda la cuestión de cómo obtenemos tal$F$en primer lugar. Dicho de otra manera, está bien que la oración

$(\dagger)\quad$"Toda estructura infinita tiene un ultrapoder no rígido"

se puede probar en$\mathsf{ZFC}$apelando a las propiedades de la lógica de primer orden, pero eso limita la satisfacción de$(\dagger)$para nuestros propósitos aquí. Así que plausiblemente tenemos una construcción de ultraproducto incondicional , pero en términos de argumento todavía no hemos llegado muy lejos.

Todo esto plantea la siguiente pregunta de seguimiento:

Poder$\mathsf{ZFC}$probar (sin traer a colación la teoría de modelos de primer orden) que toda estructura numerable infinita en un lenguaje contable tiene un ultrapoder no rígido sobre$\omega$?

Vergonzosamente, incluso si ignoramos el paréntesis, esto no es obvio para mí (y, de hecho, Shelah tiene varios artículos sobre las sutilezas de$\mathsf{ZFC}$-datos demostrables sobre ultrapoderes, como la serie "Vive la difference" )! Pero seguramente estoy teniendo un momento tonto y alguien señalará lo que me estoy perdiendo en un comentario a continuación... (EDITAR: ahora hice esto como una pregunta separada).