¿Existe algún argumento filosófico que apoye la hipótesis de que un instante infinitesimal de tiempo tiene duración cero?
La referencia a infinitesimal incluye la presentación moderna de la misma en el análisis no estándar de Abraham Robinson en 1960 y Elementary Calculus de H. Jerome Keisler :
Los instantes infinitesimales son distintos de cero, es infinitamente pequeño.
Los infinitesimales tienen una historia colorida.
En la última parte del siglo XVIII, se entendió que la continuidad de una función significaba que los cambios infinitesimales en el valor del argumento inducían cambios infinitesimales en el valor de la función.
Con el abandono de los infinitesimales en el siglo XIX, esta definición fue reemplazada por una que empleaba el concepto más preciso de límite .
Tradicionalmente, una cantidad infinitesimal es aquella que, aunque no necesariamente coincide con cero, es en cierto sentido menor que cualquier cantidad finita .
Para los ingenieros, un infinitesimal es una cantidad tan pequeña que su cuadrado y todas las potencias superiores pueden despreciarse.
En la teoría de los límites, el término "infinitesimal" se aplica a veces a cualquier secuencia cuyo límite es cero.
Una magnitud infinitesimal puede ser considerada como lo que queda después de que un continuo ha sido sometido a un análisis exhaustivo, en otras palabras, como un continuo “visto en lo pequeño. Es en este sentido que a veces se ha sostenido que las curvas continuas están "compuestas" de líneas rectas infinitesimales.
Un desarrollo importante en la refundación del concepto de infinitesimal tuvo lugar en los años setenta con el surgimiento de la geometría diferencial sintética, también conocida como análisis infinitesimal suave (SIA)[50].
Basado en las ideas del matemático estadounidense FW Lawvere, y empleando los métodos de la teoría de categorías, el análisis infinitesimal suave proporciona una imagen del mundo en la que lo continuo es una noción autónoma , no explicable en términos de lo discreto.
Proporciona un marco riguroso para el análisis matemático en el que cada función entre espacios es uniforme (es decir, diferenciable arbitrariamente muchas veces, y por lo tanto en particular continua) y en el que el uso de límites en la definición de las nociones básicas del cálculo se reemplaza por infinitesimales nilpotentes. , es decir, de cantidades tan pequeñas (pero no cero en realidad) que alguna potencia, más útil, el cuadrado, se desvanece.
Dado que en SIA todas las funciones son continuas, encarna de manera sorprendente el principio de continuidad de Leibniz Natura non facit saltus .
Árbitro.-
Un infinitesimal es arbitrariamente pequeño, pero mayor que cero. Así es como Wikipedia lo describe:
En matemáticas, los infinitesimales son cosas tan pequeñas que no hay forma de medirlas. La idea de explotar los infinitesimales fue que las entidades aún podían conservar ciertas propiedades específicas, como el ángulo o la pendiente, aunque estas entidades fueran cuantitativamente pequeñas.
Tenga en cuenta que si fueran de longitud o duración cero, ya no tendrían la propiedad de una "pendiente". Por lo tanto, vale la pena asegurarse de que en realidad no sean cero.
Como me informó Conifold en los comentarios a continuación, hay un desarrollo moderno del concepto de infinitesimal:
Hay un movimiento en la educación matemática para reintroducir los infinitesimales en el currículo, véase, por ejemplo, el texto de Keisler basado en análisis no estándar, uno de sus argumentos de venta es la afinidad con la intuición y sus usos en física, etc. Por lo tanto, no necesariamente necesitamos límites.
La discusión de Keisler sobre los infinitesimales contiene estos axiomas iniciales (página 1):
AXIOMA A R es un campo ordenado completo.
AXIOMA B R∗ es una extensión de campo ordenada de R.
AXIOMA C R∗ tiene un infinitesimal positivo, es decir, un elemento ε tal que 0 < ε y ε < r para todo r ∈ R positivo.
A los efectos de esta pregunta, tenga en cuenta que el Axioma C supone que el infinitesimal es estrictamente mayor que cero.
Referencia
Keisler, HJ (1976). Fundamentos de cálculo infinitesimal (Vol. 20). Boston: Prindle, Weber & Schmidt.
Wikipedia, "Infinitesimal" https://en.wikipedia.org/wiki/Infinitesimal
Si tengo un reloj parado a las 12:00, hay dos momentos del día en que es exacto. Solo es preciso por un instante, menos que cualquier cantidad de tiempo nombrable, por lo tanto, infinitesimal como máximo. Sin embargo, sucede. Si la cantidad de tiempo que el reloj estuvo correcto fuera en realidad cero, nunca sería correcto.
usuario2953
usuario20253