Un disco giratorio con un borde cargado entre la relatividad especial y general

Empecé a buscar en Google los resultados básicos para un caparazón esférico giratorio y descubrí que alguien se me había adelantado en este mismo cálculo:

Campos electromagnéticos de una capa de carga giratoria , Kirk T. McDonald

En el artículo, el autor calcula los campos en un marco inercial y luego proporciona una transformación a un marco giratorio para encontrar los campos magnéticos y eléctricos observados en ese marco. El autor trata el caso más general donde un caparazón con carga$Q$y radio$a$gira con velocidad angular$\pmb{\omega}$, mientras que el marco giratorio gira a$\pmb{\omega}'$; el caso solicitado por el OP es simplemente el caso$\pmb{\omega} = \pmb{\omega}'$.

El resultado dentro del caparazón es en realidad notablemente simple: en el límite de rotaciones lentas, el campo magnético medido por un observador corrotatorio dentro del caparazón es exactamente el mismo que el campo magnético medido por un observador inercial dentro del caparazón. La razón de esto es bastante sencilla: la transformación entre los campos para dos marcos inerciales, en el límite de velocidades lentas, es

$$\mathbf{B}' \approx \mathbf{B} - \frac{\mathbf{v}}{c} \mathbf{E}.$$ Dentro de la concha,$\mathbf{E} = 0$y entonces$\mathbf{B}' = \mathbf{B}$. Por lo tanto, si un observador inercial mide un campo magnético dentro de la capa, también lo hará el observador corrotatorio.

La razón por la que todavía hay un campo dentro del caparazón, aunque el observador giratorio no vea corrientes, es simplemente que las ecuaciones de Maxwell no se mantienen en un marco de referencia giratorio. El documento vinculado anteriormente presenta las ecuaciones de Maxwell en un marco de referencia que gira (lentamente) en las Ecs. (31–34) de las notas vinculadas anteriormente. En ausencia de fuentes ligadas, y en el caso estacionario (como el que tenemos aquí), se convierten en

$$\nabla \cdot \mathbf{E}' = 4 \pi \left[ \rho' - \frac{\mathbf{v}}{c^2} \cdot \mathbf{J}' + \frac{\pmb{\omega}' \cdot \mathbf{B}}{2 \pi c} \right], \\ \nabla \times \mathbf{B}' = \frac{4 \pi}{c} \left[\mathbf{J}' + \mathbf{v} \rho' + \frac{\pmb{\omega}' \times \mathbf{E}'}{4 \pi} - \frac{\omega'}{4 \pi} \frac{\partial \mathbf{E}'}{\partial \phi'}\right],$$ dónde$\mathbf{v} = \pmb{\omega}' \times \mathbf{r}$y$\phi'$(Las otras dos ecuaciones de Maxwell siguen siendo válidas; las notas tienen$\pmb{\omega}$en lugar de$\pmb{\omega}'$, pero creo que esto es un error.) En el marco giratorio, mientras$\mathbf{J}' = 0$, todavía hay contribuciones al campo magnético de los otros términos en el lado derecho de la última ecuación y, por lo tanto, el campo magnético no desaparece. (Creo que los dos últimos términos se anulan en el presente caso, ya que corresponden a la tasa de cambio de$\mathbf{E}$con respecto a$t$; pero el$\rho' \mathbf{v}$el término ciertamente no.)

Las referencias en el artículo enlazado también pueden ser de interés; en particular, es posible que desee consultar las notas del mismo autor sobre electrodinámica en marcos giratorios , así como los siguientes artículos:

• LI Schiff, "Una cuestión de relatividad general", Proc. Nat. Academia ciencia 25, 391 (1939)
• CT Ridgely, "Aplicación de la electrodinámica relativista a un medio material giratorio", Am. J. física. 66, 114 (1998)
• CT Ridgely, "Aplicación de tensores electromagnéticos covariantes versus contravariantes a medios giratorios", Am. J. física. 67, 414 (1999)

Entonces, calcularé la respuesta para un anillo giratorio de carga de radio.$R$, que se puede describir por la densidad de corriente:

$$\mathbf{J}=I\int_0^{2\pi} R.d\phi\,\left(\begin{array}\\-\sin\phi\\\cos\phi\\0\end{array}\right) \delta^{(3)}\left(\mathbf{r}-R\left(\begin{array}\\\cos\phi\\\sin\phi\\0\end{array}\right)\right)$$

Dónde$I$es la corriente en el anillo. Esto es para un observador inercial y está en coordenadas cartesianas. Esto se puede introducir en la ley de Biot-Savart para encontrar el campo magnético ($\mu_0$es la permeabilidad al vacío):

$$\mathbf{B}\left(\mathbf{r}\right)=\frac{\mu_0}{4\pi}\int d^3 r' \frac{\mathbf{J}\left(\mathbf{r'}\right)\times\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|^3}$$

Para un observador (A) sentado en el plano XY, a una distancia$\rho$lejos del origen, el campo magnético estará polarizado en z:

$$B_z\left(\rho\right)=\frac{I\mu_0}{4\pi}\int_0^{2\pi}Rd\phi.\frac{R-\rho\cos\phi}{\left(R^2+\rho^2-2R\rho\cos\phi\right)^{3/2}}=\frac{I\mu_0}{4\pi R}K\left(\rho,\,R\right)$$

Dónde

$$K\left(\rho,\,R\right)=\int_0^{2\pi}d\phi.\frac{R^2\left(R-\rho\cos\phi\right)}{\left(R^2+\rho^2-2R\rho\cos\phi\right)^{3/2}}$$

es simplemente una forma abreviada de la integral sin unidades que no sé cómo evaluar (aparte de en el límite o numéricamente).

Sea la carga completa del bucle$Q$, sea la velocidad angular de rotación$\omega$. Entonces$I=Q\omega/2\pi$y:

$$B_z\left(\rho\right)=\frac{Q\omega\mu_0}{8\pi^2 R}K\left(\rho,\,R\right)$$

A continuación, el campo eléctrico del anillo de densidad de carga:

$$\rho=\frac{Q}{2\pi}\int^{2\pi}_0 d\phi \,\delta^{(3)}\left(\mathbf{r}-R\left(\begin{array}\\\cos\phi\\\sin\phi\\0\end{array}\right)\right)$$

para observador$A$el campo eléctrico será puramente radial ($\epsilon_0$es la permitividad del vacío):

$$E_{\rho}\left(\rho\right)=\frac{Q/2\pi}{4\pi\epsilon_0}\int_0^{2\pi}d\phi. \frac{\rho-R\cos\phi}{\left(R^2+\rho^2-2R\rho\cos\phi\right)^{3/2}}$$

de nuevo, introduciendo:

$$S\left(\rho,R\right)=\int_0^{2\pi}d\phi. \frac{R^2\left(\rho-R\cos\phi\right)}{\left(R^2+\rho^2-2R\rho\cos\phi\right)^{3/2}}$$

el campo eléctrico se convierte

$$E_{\rho}\left(\rho\right)=\frac{Q}{8\pi^2 R^2\epsilon_0}\,S\left(\rho,R\right)$$

Ahora considera:

$$\frac{B_z}{E_\rho/c}=\frac{\omega R}{c}\,\times\frac{K\left(\rho,R\right)}{S\left(\rho,R\right)}$$

Dónde$c$es la velocidad de la luz. Jugando con$r\approx R$muestra que para$K/S\sim 1$, por lo que la cantidad clave aquí es$\omega R/c$que es la relación entre la velocidad con la que se mueven las cargas en la espira y la velocidad de la luz.

Claramente$\omega R/c<1$, pero para grandes velocidades angulares, en principio, es posible tener$c B_z/E_\rho>1$. Entonces, todos los observadores que pasen por ese punto en el espacio observarán un campo magnético distinto de cero. La lógica se basa en$B^2-E^2/c^2$ invariante del campo electromagnético

En condiciones normales, los campos eléctricos y magnéticos vistos por el observador inercial serán, asumiendo que el observador está desplazado desde el origen a lo largo del eje x:

$$\begin{align} E_x &= E \\ B_z &\approx \frac{\omega R}{c} E \end{align}$$

A partir de aquí, debería poder aplicar transformadas de Lorentz para aproximar el campo electromagnético en el marco de inercia instantáneo del observador giratorio B

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Noté esa proporción$K/S$diverge para$r \uparrow R$, por lo que si el observador está sentado en el bucle, probablemente podría tener una situación$c B_z/E_\rho>1$incluso para velocidades de rotación relativamente suaves