Un circuito en serie RR\text{R} y CC\text{C}

Tengo un circuito en serie R y C, con una fuente de voltaje de CC. Quiero encontrar la función de carga del capacitor. Mi pregunta es: ¿el método que uso es correcto?

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Mi trabajo (usando la transformada de Laplace):

$$\begin{cases} \text{U}_{\text{in}}(t)=\text{U}_{\text{C}}(t)+\text{U}_{\text{R}}(t)\\ \\ \text{U}_{\text{R}}(t)=\text{I}_{\text{R}}(t)\cdot\text{R}\\ \\ \text{I}_{\text{C}}(t)=\text{U}_{\text{C}}'(t)\cdot\text{C}\\ \\ \text{I}_{\text{in}}(t)=\text{I}_{\text{C}}(t)=\text{I}_{\text{R}}(t) \end{cases}\space\space\space\space\space\space\Longrightarrow^{\mathcal{L}}\space\space\space\space\space\space \begin{cases} \text{U}_{\text{in}}(\text{s})=\text{U}_{\text{C}}(\text{s})+\text{U}_{\text{R}}(\text{s})\\ \\ \text{U}_{\text{R}}(\text{s})=\text{I}_{\text{R}}(\text{s})\cdot\text{R}\\ \\ \text{I}_{\text{C}}(\text{s})=\text{C}\cdot\text{s}\cdot\text{U}_{\text{C}}(\text{s})-\text{C}\cdot\text{U}_{\text{C}}(0)\\ \\ \text{I}_{\text{in}}(\text{s})=\text{I}_{\text{C}}(\text{s})=\text{I}_{\text{R}}(\text{s}) \end{cases}$$

Entonces, obtenemos:

$$\text{U}_{\text{in}}(\text{s})=\frac{\text{I}_{\text{in}}(\text{s})+\text{C}\cdot\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{C}\cdot\text{s}}+\text{I}_{\text{in}}(\text{s})\cdot\text{R}\Longleftrightarrow\text{I}_{\text{in}}(\text{s})=\frac{\text{U}_{\text{in}}(\text{s})-\frac{\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{s}}}{\text{R}+\frac{1}{\text{C}\cdot\text{s}}}$$

Entonces, cuando quiero encontrar U_c(s):

$$\text{I}_{\text{in}}(t)=\text{U}_{\text{C}}'(t)\cdot\text{C}\space\space\space\space\space\space\Longrightarrow^{\mathcal{L}}\space\space\space\space\space\space\frac{\text{U}_{\text{in}}(\text{s})-\frac{\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{s}}}{\text{R}+\frac{1}{\text{C}\cdot\text{s}}}=\text{C}\cdot\text{s}\cdot\text{U}_{\text{C}}(\text{s})-\text{C}\cdot\text{U}_{\text{C}}(0)$$

Resolviendo U_c(s), me da:

$$\text{U}_{\text{C}}(\text{s})=\frac{\frac{\text{U}_{\text{in}}(\text{s})-\frac{\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{s}}}{\text{R}+\frac{1}{\text{C}\cdot\text{s}}}+\text{C}\cdot\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{C}\cdot\text{s}}$$

Sabiendo que la fuente de voltaje es DC:

$$\text{U}_{\text{in}}(\text{s})=\frac{\text{U}_{\text{in}}}{\text{s}}$$

Entonces:

$$\color{red}{\text{U}_{\text{C}}(\text{s})=\frac{\frac{\frac{\text{U}_{\text{in}}}{\text{s}}-\frac{\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{s}}}{\text{R}+\frac{1}{\text{C}\cdot\text{s}}}+\text{C}\cdot\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{C}\cdot\text{s}}=\frac{\frac{\text{U}_{\text{in}}-\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{R}\cdot\text{s}+\frac{1}{\text{C}}}+\text{C}\cdot\text{U}_{\text{C}}(0)}{\text{C}\cdot\text{s}}}$$

Usando la transformada inversa de Laplace, encontré:

$$\text{U}_{\text{C}}(t)=\text{U}_{\text{in}}+e^{-\frac{t}{\text{CR}}}\left(\text{U}_{\text{C}}(0)-\text{U}_{\text{in}}\right)$$