Un anillo orbital autoeclipsante

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Un anillo orbital autoeclipsante

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mike nichols

Un hábitat de ciencia ficción común y eficiente en la materia es un cilindro hueco o un anillo en el espacio que se hace girar para simular la atracción de la gravedad en su superficie interior. Estos hábitats se han imaginado tan pequeños como una nave espacial, de meros metros de radio, hasta un mundo anular, de 1 UA de radio.

Esta pregunta se refiere a un anillo en algún lugar en el medio de estos dos extremos, colocado en órbita alrededor de una estrella. Este anillo gira alrededor de 2 ejes. La primera y más rápida rotación genera la fuerza centrífuga encargada de simular la gravedad. Esto se puede visualizar como el giro de una rueda. La segunda rotación es más lenta y ocurre en un eje perpendicular a la primera rotación. Esto se puede visualizar como una moneda girando en su lugar sobre una encimera. El primer giro da como resultado un ciclo día/noche ya que el lado interior del anillo expuesto al sol y el lado oculto al sol se intercambian constantemente por la rotación del anillo. El efecto del segundo giro es difícil de visualizar pero crea algo parecido a las "estaciones" donde el contraste entre el día y la noche aumenta y disminuye. Aquí hay un gif corto que hice en Unity que debería ayudar con la visualización.

Si bien todo esto es interesante, mi pregunta es sobre un momento muy específico en este sistema dinámico. Inevitablemente, el anillo girará hasta un punto en el que esté de borde hacia el sol. En este momento, la parte del anillo que mira hacia el sol impide que la luz alcance el otro lado del anillo. De esta manera el anillo se eclipsa a sí mismo. Esto se puede ver hacia el final del gif. En un eclipse, el término “umbra” se refiere al área totalmente eclipsada por el sol. Lo que me gustaría saber es cómo calcular el tamaño de esta umbra y, en segundo lugar, cómo puedo maximizar el tamaño de esta umbra, porque seamos realistas, cuanto más oscuro, más grande y más largo es un eclipse, más frío es. Como ya tengo un diseño en mente para el anillo, la maximización de la umbra tendrá que hacerse con la estrella y la distancia que el anillo orbitará alrededor de ella. En tono rimbombante,

He preparado un esquema para describir el anillo eclipsado y lo que creo que son las variables relevantes necesarias para describir el tamaño de la umbra. Idealmente, una respuesta proporcionaría una ecuación para calcular el tamaño de la umbra dadas las dimensiones del anillo, pero las dimensiones de este anillo son un radio total de 10 000 km y un grosor de 100 km.

L. holandés

¿Estás seguro de que ese tipo de rotación puede tener lugar?

mike nichols

@ L.Dutch Creo que sí, pero si tiene una razón por la que cree que no puede, me interesaría escucharlo.

L. holandés

Creo recordar algo sobre Poinsot y el movimiento libre de torsión de los cuerpos giratorios, pero fue hace mucho tiempo cuando todavía era estudiante en la universidad, por lo que no es exactamente nuevo.

L. holandés

Debería reducirse al teorema de la raqueta de tenis: una rotación libre de par puede ocurrir alrededor de los ejes principales 1 y 3 de un cuerpo, pero no alrededor del 1 y el 2. Dado que su geometría tiene muchos segundos ejes pero no un tercero, no debería ser posible. Pero realmente me baso en recuerdos perdidos, por lo que la opinión de alguien más sería más que bienvenida.

slarty

Este tipo de rotación puede ocurrir, pero las posibilidades son limitadas. Si la rotación "eclipsante" está sincronizada con el período de rotación orbital, el anillo siempre mirará en la misma dirección y se conservará el momento angular. Pero si el período de rotación es significativamente más corto o más largo, será necesario proporcionar mucha energía para superar los efectos giroscópicos. Por ejemplo, si la rotación fuera una vez cada 24 horas, una vez cada 24 horas, casi todo el momento angular debe invertirse por completo. Sería como intentar dar la vuelta a un enorme giroscopio sin cardanes.

mike nichols

@Slarty Gracias por su aporte, esto no es muy intuitivo para mí. Si te entiendo correctamente, esta imagen describiría una órbita estable y un giro que produciría estaciones y eclipses como deseo. Aquí, la orientación absoluta del anillo giratorio no cambia, pero debido a que orbita alrededor de la estrella, los ángulos relativos entre los dos cuerpos están cambiando. Por lo tanto, no hay un giro perpendicular al giro giroscópico (rueda), pero parece que se debe al movimiento orbital. Si esto se vuelve más complejo, probablemente haré otra pregunta.

slarty

Sí, correcto, su imagen muestra el caso exacto en el que esto sería estable. A los giroscopios no les gusta que les den la vuelta debido a la conservación del momento angular. Es por eso que los polos de la Tierra siempre apuntan en la misma dirección durante todo el año.

Respuestas (1)

Un anillo orbital autoeclipsante

¿Estás seguro de que ese tipo de rotación puede tener lugar?
@ L.Dutch Creo que sí, pero si tiene una razón por la que cree que no puede, me interesaría escucharlo.
Creo recordar algo sobre Poinsot y el movimiento libre de torsión de los cuerpos giratorios, pero fue hace mucho tiempo cuando todavía era estudiante en la universidad, por lo que no es exactamente nuevo.
Debería reducirse al teorema de la raqueta de tenis: una rotación libre de par puede ocurrir alrededor de los ejes principales 1 y 3 de un cuerpo, pero no alrededor del 1 y el 2. Dado que su geometría tiene muchos segundos ejes pero no un tercero, no debería ser posible. Pero realmente me baso en recuerdos perdidos, por lo que la opinión de alguien más sería más que bienvenida.
Este tipo de rotación puede ocurrir, pero las posibilidades son limitadas. Si la rotación "eclipsante" está sincronizada con el período de rotación orbital, el anillo siempre mirará en la misma dirección y se conservará el momento angular. Pero si el período de rotación es significativamente más corto o más largo, será necesario proporcionar mucha energía para superar los efectos giroscópicos. Por ejemplo, si la rotación fuera una vez cada 24 horas, una vez cada 24 horas, casi todo el momento angular debe invertirse por completo. Sería como intentar dar la vuelta a un enorme giroscopio sin cardanes.
@Slarty Gracias por su aporte, esto no es muy intuitivo para mí. Si te entiendo correctamente, esta imagen describiría una órbita estable y un giro que produciría estaciones y eclipses como deseo. Aquí, la orientación absoluta del anillo giratorio no cambia, pero debido a que orbita alrededor de la estrella, los ángulos relativos entre los dos cuerpos están cambiando. Por lo tanto, no hay un giro perpendicular al giro giroscópico (rueda), pero parece que se debe al movimiento orbital. Si esto se vuelve más complejo, probablemente haré otra pregunta.
Sí, correcto, su imagen muestra el caso exacto en el que esto sería estable. A los giroscopios no les gusta que les den la vuelta debido a la conservación del momento angular. Es por eso que los polos de la Tierra siempre apuntan en la misma dirección durante todo el año.

HDE 226868 · Answer 1

La configuración y la ecuación.

Veamos la geometría involucrada aquí. Creé dos diagramas:

A la izquierda, tenemos la estrella de radio. $R$ . A la derecha, tenemos una sección transversal del anillo. El centro del anillo está a una distancia $r$ de la estrella, y el anillo tiene un diámetro de $2s$ y un radio de sección transversal de $a$ . podemos calcular $\theta$ usando trigonometría:

θ \approx broncearse θ = \frac{R - a}{r - s} \approx \frac{R}{r}

$\theta\approx\tan\theta=\frac{R-a}{r-s}\approx\frac{R}{r}$ Hacemos la suposición de que

r ≫ s

$r\gg s$ y

R ≫ a

$R\gg a$ , y use la aproximación de ángulo pequeño para decir que

\tan θ \approx θ

$\tan\theta\approx\theta$ . Ahora, veamos un diagrama un poco más detallado:

$u$ es el radio de la umbra proyectada sobre el lado opuesto del anillo. Nuevamente, usando la aproximación de ángulo pequeño,

θ \approx broncearse θ = \frac{a - tu}{2 s - a}

$\theta\approx\tan\theta=\frac{a-u}{2s-a}$ Igualando ambas ecuaciones,

\frac{R}{r} = \frac{a - tu}{2 s - a}

$\frac{R}{r}=\frac{a-u}{2s-a}$ y

tu = a - (2 s - a) \frac{R}{r}

$u=a-(2s-a)\frac{R}{r}$ Ayer en el chat, hablamos un poco sobre lograr un equilibrio cuando se trata de la estrella que orbita el anillo. Para maximizar el tamaño de la umbra, necesita una estrella pequeña, pero también debe estar relativamente lejos. Por otro lado, también quieres que el anillo esté en la zona habitable.

Me viene a la mente una enana roja, pero las enanas rojas son tenues. Una enana roja de $0.1R_{\odot}$ tendría una luminosidad de aproximadamente $0.01L_{\odot}$ , lo que significa que necesitarías orbitar a $0.1\text{ AU}$ para recibir el mismo flujo que la Tierra. Introduciendo los números pertinentes, en $R=0.1R_{\odot}$ , $2s=9900\text{ km}$ , $a=50\text{ km}$ , y $r=0.1\text{AU}$ , Yo obtengo $u=4.2\text{ km}$ . Eso es pequeño.

Ahora, una enana blanca , un remanente estelar, seguro, podría tener un radio de quizás $10000\text{ km}$ , tal vez incluso menos por un factor de dos. Las enanas blancas más calientes llegan en $0.5L_{\odot}$ , lo que significa que el anillo podría orbitar a $0.71\text{ AU}$ . Reemplazando estos valores, obtenemos $u=49.07\text{ km}$ , que esencialmente cubriría el lado opuesto del anillo (que tiene un radio interior de $50\text{ km}$ ).

Límites en las temperaturas estelares

Como un aparte interesante, podemos encontrar el punto en el que la umbra desaparece estableciendo $u=0$ , y obteniendo

\frac{R}{r} = \frac{a}{2 s - a} = 0.0051

$\frac{R}{r}=\frac{a}{2s-a}=0.0051$ Esto puede proporcionar información útil. Definir

x \equiv R / r

$x\equiv R/r$ , y

x_{crit} = 0.0051

$x_{\text{crit}}=0.0051$ . La umbra solo cubre parte del lado opuesto del anillo para

x < x_{crit}

$x<x_{\text{crit}}$ .

Derivemos la temperatura de equilibrio de este anillo. Suponga que está posicionado de cara a la estrella, como en los diagramas. Entonces el área de la sección transversal que mira hacia la estrella es $2s\cdot2a=4sa$ .

Considere que la luminosidad de una estrella es

L_{*} = 4 π σ R_{*}^{2} T_{*}^{4}

$L_*=4\pi\sigma R_*^2T_*^4$ donde

R_{*}

$R_*$ y

T_{*}

$T_*$ son el radio de la estrella y la temperatura superficial, y

σ

$\sigma$ es la constante de Stefan-Boltzmann. El flujo en la superficie del planeta es

F_{*} = \frac{L_{*}}{4 π r^{2}} = \frac{σ R_{*}^{2} T_{*}^{4}}{r^{2}} = X^{2} σ T_{*}^{4}

$F_*=\frac{L_*}{4\pi r^2}=\frac{\sigma R_*^2T_*^4}{r^2}=x^2\sigma T_*^4$ La potencia recibida es entonces

{PAG}_{en} = 4 s a F_{*} = 4 s a X^{2} σ T_{*}^{4}

$P_{\text{in}}=4saF_*=4sax^2\sigma T_*^4$ Si el planeta es un cuerpo negro, la potencia emitida

P_{out}

$P_{\text{out}}$ es entonces su área de superficie multiplicada por

σ T_{e f f}^{4}

$\sigma T_{eff}^4$ , donde

T_{e f f}

$T_{eff}$ es la temperatura de equilibrio planetario. El área de superficie es el área de superficie de un toro, o

S = 4 π^{2} a (s + a)

$S=4\pi^2a(s+a)$ . Entorno

P_{in} = P_{out}

$P_{\text{in}}=P_{\text{out}}$ rendimientos

4 s a X^{2} σ T_{*}^{4} = 4 π^{2} a (s + a) σ T_{mi F F}^{4}

$4sax^2\sigma T_*^4=4\pi^2a(s+a)\sigma T_{eff}^4$ y entonces

T_{mi F F} = {(\frac{s a}{π^{2} a (s + a)})}^{1 / 4} X^{1 / 2} T_{*}

$T_{eff}=\left(\frac{sa}{\pi^2a(s+a)}\right)^{1/4}x^{1/2}T_*$ En su caso, esto se convierte en

T_{mi F F} = 0.56 X^{1 / 2} T_{*}

$T_{eff}=0.56x^{1/2}T_*$ Ahora,

x_{crit} = 0.0051

$x_{\text{crit}}=0.0051$ . di que queremos

T_{e f f} = 300 K

$T_{eff}=300\text{ K}$ . Esto significa que

T_{*}

$T_*$ debe ser menor que

105000 K

$105000\text{ K}$ para que todavía haya un eclipse en el otro lado del anillo - si

T_{*}

$T_*$ era más alto,

x \geq x_{crit}

$x\geq x_{\text{crit}}$ , y la temperatura de equilibrio planetario sería mayor que

300 K

$300\text{ K}$ . De hecho, en el otro extremo de la zona habitable,

T_{e f f} = 373 K

$T_{eff}=373\text{ K}$ - Más caliente que esto hierve un agua. Esto establece un límite firme para una estrella habitable y productora de eclipses en

131000 K

$131000\text{ K}$ . Esto es mucho más caliente que la gran mayoría de las estrellas, pero descarta una serie de enanas blancas calientes , que pueden tener temperaturas de

\sim 200000 K

$\sim200000\text{ K}$ .

Un anillo orbital autoeclipsante

mike nichols

L. holandés

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L. holandés

L. holandés

slarty

mike nichols

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La configuración y la ecuación.

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