Trazado de pista de tierra de órbita elíptica con ángulo de inclinación

Estoy tratando de proyectar la trayectoria terrestre de una órbita elíptica con un ángulo de inclinación arbitrario de Δ i y un periodo de T . Tengo todos los parámetros de la órbita (longitud del semieje mayor, longitud del semieje menor, excentricidad, velocidad de apogeo y perigeo, energía, etc.).

El enfoque que estaba tomando era trazar una posición del satélite en la órbita elíptica en un plano XY. Yo itero a través del dominio del tiempo t ∈ [ 0 , T ] donde T es el período de la órbita con un paso de tiempo específico de Δ t . Para cada vez, calculo la anomalía media y la magnitud de la distancia entre el satélite y el cuerpo central, r . Al proyectar el vector de posición del satélite con respecto al cuerpo central en el semieje mayor, la longitud de ese vector proyectado se definirá como X . Después de encontrar X , encontré la proyección vertical de ese mismo vector de posición, formando así el triángulo de abajo.

Triángulo de proyección

En primer lugar, necesito encontrar la anomalía media en función del tiempo. Mi código no funciona actualmente, pero en teoría lo que estoy haciendo es (de Mecánica orbital para estudiantes de ingeniería de Curtis, 1.ª edición ) estoy resolviendo numéricamente una cantidad etiquetada como mi utilizando la ecuación de anomalía media (ecuación entre 3.12 y 3.13 para los que tienen el libro), dada como: METRO mi = mi − mi pecado ⁡ ( mi ) . A partir de ahí, resuelvo numéricamente la anomalía verdadera usando la ecuación. 3.7a:

METRO mi = 2 arcán ⁡ ( 1 − mi 1 + mi broncearse ⁡ θ / 2 ) − mi 1 − mi 2 pecado ⁡ θ 1 + mi porque ⁡ θ .

Después de encontrar esas distancias, encontré las coordenadas esféricas del satélite con respecto al centro del cuerpo central. r sería r pag + X , ϕ sería simplemente el complemento de Δ i . θ sería la verdadera anomalía.

Después de eso, tracé (x, y) usando la transformación cartesiana esférica, pero simplemente no creo que sea tan sencillo. Por un lado, lo que estoy tratando de hacer esencialmente es proyectar una curva 3D en una esfera y luego proyectarla en un plano 2D. Si alguien tiene fuentes/material de lectura sobre cómo hacer realmente estos cálculos, sería fantástico. Estaba haciendo referencia a este capítulo de un libro sobre satélites: http://fgg-web.fgg.uni-lj.si/~/mkuhar/Pouk/SG/Seminar/Vrste_tirnic_um_Zemljinih_sat/Orbit_and_Ground_Track_of_a_Satellite-Capderou2005.pdf . Lamentablemente, no puedo hacer referencia a otras ecuaciones a las que hace referencia el libro hasta que lo consiga.

Todavía no he logrado que se ejecute el código, por lo que no sé cómo se ven mis gráficos, pero según los datos preliminares, no parece estar yendo de la manera correcta (por ejemplo, Anomalía verdadera ( θ ) debe ir de 0 a 2 π a medida que aumenta el tiempo, pero eso no es lo que está generando.

EDITAR: Errores tipográficos y para aclarar, no quiero usar paquetes externos como STK. Quiero poder inventar físicamente estas tramas.

Respuestas (2)

Primero adjuntemos un sistema de coordenadas diestro a la órbita, definido por los vectores de base unitaria ( mi X , mi y , mi z ) , con mi X y mi y en el plano orbital y mi X en dirección al periapsis. Primero, calcule la anomalía excéntrica mi de la anomalía media METRO :

METRO = 2 π t T = mi − pecado ⁡ mi ,
suponiendo que el satélite está en el periapsis en t = 0 . El vector de posición del satélite viene dado por
r = a ( porque ⁡ mi − mi ) mi X + b pecado ⁡ mi mi y .
No hay necesidad de calcular la verdadera anomalía.

A continuación, necesitamos encontrar la transformación general del marco orbital a un marco de referencia dado, definido por ( mi X ′ , mi y ′ , mi z ′ ) . Esto se puede hacer usando tres ángulos de Euler . Ω , i , y ω :

  • Ω es la longitud del nodo ascendente en el ( mi X ′ , mi y ′ ) plano, es decir, el ángulo medido desde mi X ′ al nodo ascendente;
  • i es la inclinación de la órbita con el ( mi X ′ , mi y ′ ) avión;
  • ω es el argumento del periapsis, es decir, el ángulo medido desde el nodo ascendente hasta el periapsis.

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Consulte también el artículo de wiki sobre elementos orbitales . La transformación viene dada entonces por tres rotaciones:

( mi X mi y mi z ) = ( porque ⁡ ω pecado ⁡ ω 0 − pecado ⁡ ω porque ⁡ ω 0 0 0 1 ) ( 1 0 0 0 porque ⁡ i pecado ⁡ i 0 − pecado ⁡ i porque ⁡ i ) ( porque ⁡ Ω pecado ⁡ Ω 0 − pecado ⁡ Ω porque ⁡ Ω 0 0 0 1 ) ( mi X ′ mi y ′ mi z ′ )
o explícitamente,
mi X = ( porque ⁡ Ω porque ⁡ ω − pecado ⁡ Ω pecado ⁡ ω porque ⁡ i ) mi X ′ + ( pecado ⁡ Ω porque ⁡ ω + porque ⁡ Ω pecado ⁡ ω porque ⁡ i ) mi y ′ + ( pecado ⁡ ω pecado ⁡ i ) mi z ′ mi y = ( − porque ⁡ Ω pecado ⁡ ω − pecado ⁡ Ω porque ⁡ ω porque ⁡ i ) mi X ′ + ( − pecado ⁡ Ω pecado ⁡ ω + porque ⁡ Ω porque ⁡ ω porque ⁡ i ) mi y ′ + ( porque ⁡ ω pecado ⁡ i ) mi z ′ mi z = ( pecado ⁡ Ω pecado ⁡ i ) mi X ′ + ( − porque ⁡ Ω pecado ⁡ i ) mi y ′ + porque ⁡ i mi z ′ .
Esto le permite expresar r en las coordenadas del marco de referencia. Para la ruta proyectada, simplemente configure el z ′ componente a cero.

¿Cómo varía /es/ True Anomaly en sus resultados? Si varía de − π a π , podría estar bien, y simplemente como resultado de que la computadora restringe los rangos de las diversas funciones trigonométricas automáticamente.

No debería necesitar resolver numéricamente para True Anomaly ( θ ) de la anomalía media (M). Es bastante sencillo extraerlo de Anomalía excéntrica (E) y Excentricidad orbital (e) una vez que tenga esos valores.

Cuando estaba trabajando en un programa para ejecutar las ecuaciones de Kepler hace unos años, había varias cosas que hice: primero y más importante, para las órbitas elípticas, rectificaba el valor que tenía para la anomalía media en el rango ( − π , π ] , lo que permitió una mayor reutilización del código cuando hice la versión que trataba con órbitas hiperbólicas.

Dada esa suposición, el rango de Anomalía excéntrica también será ( − π , π ] , con los mismos signos que Mean Anomaly.

Y eso te permite sacar True Anomaly en la órbita elíptica con la siguiente ecuación:

θ = ± a r C t a norte ( 1 + mi 1 − mi t a norte mi 2 )

Elija el valor de Anomalía verdadera que tenga el mismo signo que la Anomalía excéntrica. El resultado, como con las otras Anomalías, estará en el rango ( − π , π ]

Si realmente necesita el valor de True Anomaly en el rango ( 0 , 2 π ) , puede agregar posteriormente 2 π a todos los valores negativos de θ .

Trazado de pista de tierra de órbita elíptica con ángulo de inclinación
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