Transformación de Lorentz del tensor dual

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Transformación de Lorentz del tensor dual

Física
covarianza
tensor-métrico
electromagnetismo
lorentz-simetría
ecuaciones de maxwell

usuario350371

Estoy tratando de transformar lorentz el tensor electromagnético dual $G^{\mu \nu}:= \frac{1}{2} \epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta} F_{\alpha \beta}$ y también mostrar (quizás usando ese último resultado) que $G^{\mu \nu}F_{\mu \nu} = - \frac{4}{c} \vec{E}\vec{B}$ es realmente (o no realmente) invariante bajo la transformación de Lorentz.

Hasta ahora lo he visto de diferentes maneras:

1. Idea: No contratar $\epsilon$

{GRAMO}^{m v}^{'} = Λ_{σ}^{m} Λ_{τ}^{v} {GRAMO}^{σ τ} = Λ_{σ}^{m} Λ_{τ}^{v} \frac{1}{2} ϵ^{σ τ α β} F_{α β}

$\begin{equation*} {G^{\mu \nu }}' = \Lambda ^\mu _\sigma \Lambda ^\nu _\tau G^{\sigma \tau} = \Lambda ^\mu _\sigma \Lambda ^\nu _\tau \frac{1}{2} \epsilon ^{\sigma \tau \alpha \beta} F_{\alpha \beta} \end{equation*}$ esto parece plausible, pero ¿qué pasa con el pseudotensor de levi civita? ¿No debería transformarlo Lorentz por completo? Como en

2. Idea: Contraer cada tensor dentro

{GRAMO}^{m v}^{'} = (\frac{1}{2} ϵ^{m v α β})^{'} (F_{α β})^{'} = Λ_{σ}^{m} Λ_{τ}^{v} Λ_{ρ}^{α} Λ_{γ}^{β} (\frac{1}{2} ϵ^{σ τ ρ γ}) Λ_{α}^{ξ} Λ_{β}^{ω} (F_{ξ ω})

$\begin{equation*} {G^{\mu \nu}}' = (\frac{1}{2} \epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta})' (F_{\alpha \beta})' =\Lambda ^\mu _\sigma \Lambda ^\nu _\tau \Lambda ^\alpha _\rho \Lambda ^\beta _\gamma ( \frac{1}{2} \epsilon ^{\sigma \tau \rho \gamma} )\Lambda _\alpha ^\xi \Lambda _\beta ^\omega (F_{\xi \omega}) \end{equation*}$ Me disculpo por los muchos índices . Pero, ¿es esta la forma general de realizar la transformación de Lorentz? Parece que me lleva al mismo último resultado que en 1.idea si hago lo siguiente:

{GRAMO}^{m v}^{'} = Λ_{σ}^{m} Λ_{τ}^{v} Λ_{ρ}^{α} Λ_{γ}^{β} (\frac{1}{2} ϵ^{σ τ ρ γ}) Λ_{α}^{ξ} Λ_{β}^{ω} (F_{ξ ω}) = Λ_{σ}^{m} Λ_{τ}^{v} d_{ρ}^{ξ} d_{γ}^{ω} \frac{1}{2} ϵ^{σ τ ρ γ} F_{ξ ω} = Λ_{σ}^{m} Λ_{τ}^{v} \frac{1}{2} ϵ^{σ τ ρ γ} F_{ρ γ} = Λ_{σ}^{m} Λ_{τ}^{v} {GRAMO}^{σ τ}

$\begin{equation*} {G^{\mu \nu}}' = \Lambda ^\mu _\sigma \Lambda ^\nu _\tau \Lambda ^\alpha _\rho \Lambda ^\beta _\gamma ( \frac{1}{2} \epsilon ^{\sigma \tau \rho \gamma} )\Lambda _\alpha ^\xi \Lambda _\beta ^\omega (F_{\xi \omega}) = \Lambda ^\mu _\sigma \Lambda ^\nu _\tau \delta ^\xi _\rho \delta ^\omega _\gamma \frac{1}{2} \epsilon ^{\sigma \tau \rho \gamma} F_{\xi \omega} = \\ \Lambda ^\mu _\sigma \Lambda ^\nu _\tau \frac{1}{2} \epsilon ^{\sigma \tau \rho \gamma} F_{\rho \gamma} = \Lambda ^\mu _\sigma \Lambda ^\nu _\tau G^{\sigma \tau} \end{equation*}$ aquí usé la identidad

Λ_{β}^{α} Λ_{γ}^{β} = δ_{γ}^{α}

$\Lambda ^\alpha _\beta \Lambda ^\beta _\gamma = \delta ^\alpha _\gamma$ (¿es esto cierto para todas las transformaciones de lorentz?)

Obtengo las dos formas y parece que son iguales, pero ¿y si lo veo de esta manera?

3. Idea: ver la transformación de Lorentz de levi-civita como determinante

{GRAMO}^{m v}^{'} = Λ_{σ}^{m} Λ_{τ}^{v} Λ_{ρ}^{α} Λ_{γ}^{β} (\frac{1}{2} ϵ^{σ τ ρ γ}) Λ_{α}^{ξ} Λ_{β}^{ω} (F_{ξ ω}) = \frac{1}{2} d mi t (Λ) ϵ^{m v α β} Λ_{α}^{ξ} Λ_{β}^{ω} F_{ξ ω} = \pm \frac{1}{2} ϵ^{m v α β} Λ_{α}^{ξ} Λ_{β}^{ω} F_{ξ ω} = \pm \frac{1}{2} ϵ^{m v α β} (F_{α β})^{'}

$\begin{equation*} {G^{\mu \nu}}' = \Lambda ^\mu _\sigma \Lambda ^\nu _\tau \Lambda ^\alpha _\rho \Lambda ^\beta _\gamma ( \frac{1}{2} \epsilon ^{\sigma \tau \rho \gamma} )\Lambda _\alpha ^\xi \Lambda _\beta ^\omega (F_{\xi \omega}) =\frac{1}{2} det(\Lambda) \epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta} \Lambda _\alpha ^\xi \Lambda _\beta ^\omega F_{\xi \omega} = \\ \pm \frac{1}{2}\epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta} \Lambda _\alpha ^\xi \Lambda _\beta ^\omega F_{\xi \omega} = \pm \frac{1}{2}\epsilon ^{\mu \nu \alpha \beta} (F_{\alpha \beta})' \end{equation*}$ aquí usé

D e t (Λ) = \pm 1

$Det(\Lambda) = \pm 1$ ¿Entonces, qué está pasando aquí? ¿Dónde cometí un error? ¿Tiene esto algo que ver con las transformaciones de Lorentz no simétricas, como en las rotaciones? Si ahora resuelvo la transformación de lorentz de

G^{μ ν} F_{μ ν}

$G^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$ obtengo en un caso que son invariantes, en el otro caso, no lo son; el

\pm

$\pm$ que proviene del determinante contradice la igualdad.

Me inclino por mi 2. Idea como la forma de hacerlo. Parece que uno elige a menudo del determinante el signo +, pero eso es solo para las transformaciones de Lorentz adecuadas, realmente apreciaría aprender si $G^{\mu \nu} F_{\mu \nu}$ es invariante bajo las transformaciones de Lorentz en general.

JG

tu definición de

G

$G$ no usa índices consistentemente.

Respuestas (2)

Transformación de Lorentz del tensor dual

BRT · Answer 1

Recuérdese que el grupo de Lorentz $O(1,3)$ consta de todo $4\times 4$ matrices $\Lambda$ satisfactorio $\Lambda^T\eta\Lambda=\eta$ . Esto da, en particular, $\det(\Lambda)=\pm1$ . el subgrupo $SO(1,3)$ consta de todas las transformaciones con determinante $+1$ .

$\vec{E}\cdot\vec{B}$ es invariante bajo $SO(1,3)$ pero no debajo de todo $O(1,3)$ - es un pseudoescalar. Esto se debe a que es un producto del vector $\vec{E}$ y el pseudovector $\vec{B}$ . Aquí hay una manera fácil de ver eso $\vec{B}$ se transforma como un pseudovector:

Considere la ley de fuerza de Lorentz $\vec{F}=q(\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B})$ . Ahora aplica un reflejo:

R : (t, \vec{X}) \mapsto (t, - \vec{X}) .

$\begin{equation}R:(t,\vec{x})\mapsto(t,-\vec{x}).\end{equation}$ Tenemos:

\vec{F} \mapsto - \vec{F} y \vec{mi} \mapsto - \vec{mi},

$\begin{equation}\vec{F}\mapsto-\vec{F} \qquad \text{and} \qquad\vec{E}\mapsto-\vec{E},\end{equation}$ de modo que

\vec{v} \times \vec{B} \mapsto - \vec{v} \times \vec{B}

$\vec{v}\times\vec{B}\mapsto-\vec{v}\times\vec{B}$ .

Pero la velocidad se transforma como $\vec{v}\mapsto-\vec{v}$ entonces tenemos la transformación de $\vec{B}$ bajo $R$ :

\vec{B} \mapsto \vec{B} = (- 1) (- \vec{B}) = det (R) (R \cdot \vec{B}) .

$\begin{equation}\vec{B}\mapsto\vec{B}=(-1)(-\vec{B})=\det(R)(R\cdot\vec{B}).\end{equation}$

Estás hablando de transformaciones de Lorentz restringidas, es decir $\text{SO}^+(1,3)$ . OP está claramente interesado en el caso en que las transformaciones de Lorentz no están restringidas. en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_group .
Los físicos entienden que la simetría de Lorentz sin ningún calificativo significa simetría de Lorentz "adecuada". Por ejemplo, nadie diría que el modelo estándar viola la simetría de Lorentz. Desearía que considerara editar la frase para decir "no es invariable bajo todas las transformaciones de coordenadas" o tal vez "no es invariante bajo transformaciones de Lorentz incorrectas".
Conozco esta convención, pero generalmente se usa en QFT relativista una vez que uno aprende los conceptos básicos. Tome, por ejemplo, el libro de Weinberg y en el segundo capítulo lo verá llamar transformaciones de Lorentz de paridad e inversión de tiempo. Nuevamente, "todas las transformaciones de coordenadas" es demasiado amplio. Esto incluye dilataciones, etc. En este punto, está claro que mi redacción ha causado confusión, por lo que editaré la respuesta.
Gracias, eso se siente mejor. Dado que al cartel le preocupaba si esto se debía a "transformaciones de Lorentz no simétricas, como en las rotaciones", parecía que no se entendía qué significaban las transformaciones de Lorentz adecuadas y se necesitaba una aclaración adicional.

pingüino · Answer 2

Cuando los físicos se refieren a la simetría de Lorentz, generalmente se entiende que se refieren solo a la simetría de Lorentz "adecuada". Después de todo, nadie diría que el modelo estándar viola la simetría de Lorentz, aunque no tiene simetría de paridad. Entonces, para evitar confusiones, dividiré las transformaciones de coordenadas del total $O(1,3)$ (que es lo que supongo que quiere decir con "transformaciones de Lorentz en general ") en transformaciones de Lorentz adecuadas, transformación de paridad y transformación de inversión de tiempo. Dividirlo de esta manera también hace que discutir el valor en varios sistemas de coordenadas sea más fácil de discutir.

Está preguntando varias cosas aquí, pero con todos los enfoques, parece que el problema principal es cómo determinar si algo como $G^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ es invariable a las transformaciones de Lorentz y reflexiones espaciales o temporales, y también cómo averiguar su valor.

Primero, si bien es una tautología aburrida, no puedes escribir las transformaciones a menos que sepas cómo se transforman los objetos. $F_{\mu\nu}$ es un tensor, y como mencionas, el símbolo de Levi-Civita $\epsilon^{\alpha\beta\mu\nu}$ es en realidad un pseudo-tensor. Un pseudotensor se transformará como un tensor, excepto las transformaciones que contengan cambios de paridad (cambios de "orientación") y cambios de tiempo (inversión de la coordenada de tiempo), en cuyo caso habrá un cambio de signo de acuerdo con $det(\Lambda^\mu{}_\nu)$ .

Dado que esto es lo único que distingue la transformación de estos objetos de los tensores, no necesitamos restringirnos a las transformaciones de Lorentz. Podemos considerar transformaciones generales y dividirlas en cuatro clases en función de si hay un reflejo espacial o temporal. Restringiéndonos a transformaciones 'propias', todo se transformará como un tensor, y luego podemos calcular los resultados en transformaciones 'impropias' simplemente considerando su paridad de acción de inversión de tiempo.

Lo mejor de la notación de Einstein es que una vez que estamos trabajando con tensores, podemos leer si algo es independiente de las coordenadas. Todos los índices están contraídos, por lo que esto es independiente de la transformación de coordenadas (dentro de la clase restringida que estamos considerando en este momento). La transformación de un índice "superior" (contravariante) cancelará la transformación del índice "inferior" (covariante) y así sucesivamente. Esto significa $G^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ es invariante a todas las transformaciones propias. Para transformaciones impropias, el valor será el mismo excepto por un posible cambio de signo. Cambiar de mano -> cambiar de signo. Cambiar la dirección del tiempo -> cambiar el signo. Cambie tanto la mano como la dirección del tiempo -> los dos cambios de signo se cancelan.

En cuanto a ver lo que $G^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ es igual, solo elija un sistema de coordenadas que sea conveniente, luego podrá ver fácilmente cuál es el valor en otros sistemas de coordenadas. Así que sugeriría simplemente usar un sistema de coordenadas inerciales, observando cómo $\mathbf{E}$ y $\mathbf{B}$ se definen como componentes del tensor electromagnético $F_{\mu\nu}$ y luego calculando $G^{\mu\nu}$ (que es simplemente permutar componentes usando Levi-Civita cuando se ve como una matriz de componentes). Luego calculando $G^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ es fácil y se puede ver que es proporcional a $\mathbf{E} \cdot \mathbf{B}$ .

Luego, aplicando una transformación de coordenadas con una reflexión espacial o inversión de tiempo (por lo que el signo de $G^{\mu\nu}$ cambios), vemos que bajo estas transformaciones "impropias" $G^{\mu\nu}F_{\mu\nu}$ obtendrá un signo negativo. Entonces, sí, esto es invariante para las transformaciones de Lorentz adecuadas habituales, pero no para las transformaciones de Lorentz impropias (aunque el valor absoluto sería completamente invariante para la transformación de coordenadas).

Transformación de Lorentz del tensor dual

usuario350371

JG

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