Derivación de la fórmula de suma de velocidad relativista

Solo es cuestión de hacer bien el álgebra. podemos sacar un factor$\gamma$de ambos factores en la expresión:

$${V_{x}}'=\frac{d}{dt}\left(\gamma(x-\beta ct)\right)\left(\gamma + \frac{\beta \gamma}{c}{V_x}'\right)$$

porque es constante bajo diferenciación wrt$t$. Esto produce:

$${V_{x}}'=\frac{1}{1-\beta^2}\frac{d}{dt}\left(x-\beta ct\right)\left(1 + \frac{\beta }{c}{V_x}'\right)$$

La derivada se puede evaluar:

$${V_{x}}'=\frac{1}{1-\beta^2}\left(V_x-\beta c\right)\left(1 + \frac{\beta }{c}{V_x}'\right)$$

Todo lo que tenemos que hacer es resolver esta ecuación para${V_{x}}'$. Cuando trabaje con ecuaciones grandes, debe tener cuidado para evitar errores. La mejor manera es concentrarse en las partes relevantes de la ecuación, en lugar de tratar de hacer todo a la vez. Entonces, si queremos recopilar todos los${V_{x}}'$términos entonces simplemente concéntrese en hacer precisamente eso. En el lado izquierdo${V_{x}}'$está presente con un coeficiente de$1$, del lado derecho tiene un coeficiente de:

$$A = \frac{1}{1-\beta^2}\left(V_x-\beta c\right)\frac{\beta }{c}$$

Entonces, si traemos todos los${V_{x}}'$términos a la izquierda, obtendrá un coeficiente de$1 - A$. El término restante en el lado derecho es:

$$B = \frac{1}{1-\beta^2}\left(V_x-\beta c\right)$$

Entonces, veamos si podemos simplificar$1 - A$:

$$1-A = \frac{1}{1-\beta^2}\left(1-\beta^2 -V_x\frac{\beta}{c}+\beta^2\right) = \frac{1}{1-\beta^2}\left(1-V_x\frac{\beta}{c}\right)$$

Dividiendo ambos lados por$1-A$rendimientos:

$${V_{x}}'= \frac{V_x-\beta c}{1-\frac{\beta}{c} V_x}$$

Parece que tu libro de texto está tomando un camino complicado. Hay un camino más corto que prefiero:

$$\frac{dx'}{dt'}=\frac{d(\gamma(x-vt))}{d(\gamma(t-vx/c^2))}=\frac{dx-vdt}{dt-vdx/c^2}=\frac{dx/dt-v}{1-v(dx/dt)/c^2}$$ dónde $v = \beta c$.

EDITAR: su método de libro de texto también funciona. Pero su factor de Lorentz que mencionó en su comentario está mal; con su notación, debería ser$\gamma=1/\sqrt{1-\beta^2}$(deducido de su$x'=\gamma(x-\beta ct)$, por eso$v=\beta c$y$v^2/c^2=\beta^2$). Entonces usa$1+\gamma^2\beta^2=\gamma^2$en los pasos que mencioné en mi comentario anterior (calcular la derivada wrt$t$y resolver para$V′x$que aparece linealmente en ambos lados) y listo.