Trabajo, energía y potencia: el cuerpo se desliza por un hemisferio

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Trabajo, energía y potencia: el cuerpo se desliza por un hemisferio

Trabajo
energía
Física
velocidad
fuerza centrípeta
deberes-y-ejercicios

ram sidharth

Un pequeño cuerpo de masa $m$ se desliza hacia abajo desde la parte superior de un hemisferio de radio $r$ . No hay fricción entre la superficie del bloque y el hemisferio. ¿Cuál es la altura a la que el cuerpo pierde el contacto con la superficie de la esfera?

Así es como entendí el problema:
En primer lugar, la masa no pierde en absoluto el contacto con la superficie de la esfera, considerando que está experimentando una aceleración centrípeta, donde la fuerza centrípeta es proporcionada por la componente del peso de la masa hacia el centro. del hemisferio ( $mgcos\theta$ , dónde $\theta$ es el ángulo entre el vector del peso de la masa y su componente que actúa hacia el centro).
Por tanto, dado que sólo $mgcos\theta$ es responsable de la fuerza centrípeta, puedo formar una relación como esta:

$mgcos\theta\ =\ \large \frac{mv^2}{r}$

$v\ =\ \sqrt{rgcos\theta}$

Tomando 'h' como la altura de la masa desde la base del hemisferio.

$cos\theta\ =\ \large \frac{h}{r}$

Entonces la velocidad de la masa se convierte en:

$v\ =\ \sqrt{gh}$

La componente del peso de la masa a lo largo del centro desaparece sólo cuando $\theta$ se convierte $90$ grados En este punto, abandona la superficie del hemisferio.
Ahora, la energía de la masa en el punto más alto es:

$P.E\ =\ mgr$

A medida que el cuerpo se desliza sobre la superficie del hemisferio, tiene una velocidad tangencial dada por la expresión que acababa de derivar anteriormente. Entonces, por la conservación de la energía mecánica total del cuerpo, su energía en cualquier otro punto del hemisferio es:

$T.E\ =\ mgh + \frac{1}{2}mv^2$

$P.E\ =\ T.E$

$gr\ =\ gh + \frac{v^2}{2}$

$gr\ =\ gh + \frac{gh}{2}$

$h\ =\ \frac{2}{3}r$

Pero esto significaría que el cuerpo efectivamente abandona la superficie del hemisferio. Simplemente no cuadra. ¿Puede alguien explicar si mi enfoque y suposiciones son válidos y cómo llegué a esta respuesta completamente contradictoria?

Mathusalem

En primer lugar, no olvide el factor de 1/2 cuando trate con la conservación de energía... La conservación de energía implica, para sus condiciones iniciales,

r = \sqrt{2 g h}

$r = \sqrt{2gh}$ . Entonces, le insto a que reconsidere su afirmación de que la pelota se desconcierta en

θ = 90

$\theta=90$ . Recuerda que quieres mantener la pelota en un arco de radio

R

$R$ . A medida que se desliza hacia abajo, gana velocidad. En algún momento, el componente radial de la gravedad simplemente no es suficiente para proporcionar la aceleración para mantener la pelota en un arco.

ram sidharth

@Mathusalem. ¿Podría dar más detalles dando una respuesta a esta pregunta? No entendía.

Respuestas (3)

Trabajo, energía y potencia: el cuerpo se desliza por un hemisferio

En primer lugar, no olvide el factor de 1/2 cuando trate con la conservación de energía... La conservación de energía implica, para sus condiciones iniciales, $r = \sqrt{2gh}$ . Entonces, le insto a que reconsidere su afirmación de que la pelota se desconcierta en $\theta=90$ . Recuerda que quieres mantener la pelota en un arco de radio $R$ . A medida que se desliza hacia abajo, gana velocidad. En algún momento, el componente radial de la gravedad simplemente no es suficiente para proporcionar la aceleración para mantener la pelota en un arco.
@Mathusalem. ¿Podría dar más detalles dando una respuesta a esta pregunta? No entendía.

Mical · Answer 1

Por lo que recuerdo $h=\frac{2r}{3}$ es de hecho la respuesta correcta.

Esta es la parte incorrecta de tu razonamiento.

La componente del peso de la masa a lo largo del centro desaparece solo cuando θ > se convierte en 90 grados. En este punto, abandona la superficie del hemisferio.

Por lo que entiendo que dices que en $θ = 90 degrees$ la componente radial del peso es cero por lo que los bloques se caen. Una analogía no circular a esto sería decir que la gravedad siempre actúa hacia abajo, por lo que es imposible lanzar cualquier objeto, lo que por supuesto es incorrecto. Después de que el bloque cae, su peso todavía "tira" del bloque en la dirección radial, sin embargo, el componente de velocidad tangencial es demasiado grande, es decir $mgcosθ < \frac{mv^2}{r}$

En aras de la exhaustividad, vale la pena señalar que la declaración $mgcosθ = \frac{mv^2}{r}$ no es cierto mientras el bloque todavía está en el hemisferio, ya que no tuvo en cuenta el contacto/fuerza normal entre el bloque y el hemisferio. Sin embargo, no incluirlo no importa ya que la fuerza normal es cero en el momento en que los bloques abandonan la superficie. Similarmente $cosθ = \frac{h}{r}$ solo se mantendrá cuando el bloque todavía no sea el hemisferio

djohnm · Answer 2

A medida que el cuerpo se desliza alrededor del hemisferio, cae más bajo, desde su altura original de $r$ a una altura de $r-r\cos\theta$ , dónde $\theta$ comienza en 90 grados y cae a 0 grados (es análogo a la latitud).

Entonces la pérdida de energía potencial es igual a la energía cinética:

\frac{1}{2} metro v^{2} = metro gramo r (1 - porque θ)

$\frac12mv^2=mgr(1-\cos\theta)$ Entonces

v^{2} = 2 gramo r (1 - porque θ)

$v^2=2gr(1-\cos\theta)$

De hecho , la fuerza centrípeta interna necesaria viene dada por:

F_{C} = \frac{metro v^{2}}{r}

$F_C=\frac{mv^2}{r}$ entonces, reemplazando:

F_{C} = \frac{2 metro gramo r (1 - porque θ)}{r} = 2 metro gramo (1 - porque θ)

$F_C=\frac{2mgr(1-\cos\theta)}{r}=2mg(1-\cos\theta)$ La fuerza centrípeta hacia adentro disponible debido a la componente radial de la gravedad es

m g \cos θ

$mg\cos\theta$ , menos la fuerza normal hacia afuera de la superficie que actúa sobre el bloque. Cuando el bloque "necesita" todo el componente de la gravedad, y luego más, abandona la superficie (¡a menos que la superficie pueda "succionar"!

Establecer el componente radial, $mg\cos\theta$ (Si lo mismo $\theta$ ) igual a la fuerza necesaria y resuelve...

Muchas gracias por su respuesta. Ha despejado muchas dudas. Pero tengo algunas preguntas. Lo sabemos $mgcos\theta \ =\ R_h$ . $R_h$ se convierte $0$ cuando $cos\theta$ se convierte $0$ . Esto implicaría que la masa se ha deslizado hasta el pie del hemisferio. Pero la respuesta que finalmente obtengo es $h\ =\ \frac{2}{3}r$ lo que significaría que sale mucho antes de la superficie. La respuesta es contradictoria, o tal vez lo estoy interpretando mal. ¿Podría aclarar?
no sabemos eso $mgcos\theta \ =\ R_h$ Sabemos cuán grande es la fuerza de gravedad; nada puede cambiar eso. Conocemos la componente radial de esa fuerza de gravedad; trigonometría simple da eso. La teoría nos dice qué cantidad de esa fuerza radial se necesita para mantener el bloque moviéndose en un círculo. Si el componente radial de la gravedad es lo suficientemente grande como para mantener el movimiento circular, entonces bien; la fuerza de reacción es lo suficientemente grande como para compensar el exceso de fuerza de gravedad radial. Si la fuerza radial es un poquito demasiado pequeña para mantener circular el movimiento circular, entonces adiós bloque...

usuario31322 · Answer 3

Se dice que se realiza trabajo cuando una fuerza aplicada sobre el cuerpo lo desplaza una cierta distancia en la dirección de la fuerza.

Sea una fuerza constante F- aplicada sobre el cuerpo tal que forme un ángulo q con la horizontal y el cuerpo se desplace una distancia s

Al descomponer la fuerza F- en dos componentes:

(i) F cosq en la dirección de desplazamiento del cuerpo.

(ii) F senq en la dirección perpendicular de desplazamiento del cuerpo.

Dado que el cuerpo se desplaza en la dirección de F cosΘ, el trabajo realizado por la fuerza al desplazar el cuerpo una distancia s está dado por

w = (f cosΘ)s = fs cosΘ

o w = fs

Así, el trabajo realizado por una fuerza es igual al producto escalar o escalar de la fuerza y el desplazamiento del cuerpo. ingrese la descripción de la imagen aquí

Fuente: http://www.transtutors.com/homework-help/civil-engineering/work-power-and-energy/

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Mathusalem

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usuario31322

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