Tiempo de vuelo de un proyectil con velocidad inicial y tamaño establecidos a varias distancias

Unas pocas suposiciones y diez minutos con una hoja de cálculo de Excel lo acercarán a una respuesta. Estos son los que hice:

1. Gránulo simple (ignore el efecto de "nube" de los gránulos que arrastran el aire)
2. Ignore el efecto del estallido de boca: el perdigón "viene a la existencia" a la salida del cañón en aire perfectamente quieto.
3. El coeficiente de arrastre es constante en 0,45 (ver más abajo)
4. La velocidad vertical puede despreciarse
5. Pellet está hecho de plomo,$\rho = 11.3 g/cm^3$
6. La densidad del aire es$1.225 kg/m^3$
7. La viscosidad del aire es$15.11\cdot 10^{-6} m^2/s$

En cuanto a la suposición n.º 3, consulte el siguiente gráfico (de http://www.uic.edu/classes/me/me211/Lab/lab2.pdf ) que muestra una curva relativamente plana para$C_D$entre un número de Reynolds de$10^3$y$2x10^5$- aproximadamente el régimen que nos interesa:

Ahora podemos usar la ecuación de arrastre:

para calcular la fuerza y ​​finalmente integrar las leyes de Newton para obtener la desaceleración, la velocidad y la posición.

Parámetros clave (nota: estoy tomando su velocidad inicial de 1500 m/s como un hecho por ahora, pero eso es increíblemente rápido para un perdigón de escopeta: probablemente esté equivocado por al menos un factor de 3: lo más probable es que se refiera a pies por segundo Las matemáticas no son tan diferentes)

Ahora puede escribir lo siguiente para un par de filas en su hoja de cálculo de Excel:

t       velocity       force                   acc        distance               drop
0       =velocity      =0.5*rho*area*B2^2*CD_  =C2/(mass)  0                     =-0.5*9.81*A2^2
0.0005  =B2-D2*(A3-A2) =0.5*rho*area*B3^2*CD_  =C3/(mass)  =E2+(A3-A2)*(B3+B2)/2 =-0.5*9.81*A3^2    =B3 

Aquí, la primera línea establece las condiciones iniciales (velocidad 1500, distancia recorrida cero), y la siguiente línea es el primer "paso de tiempo" en la ecuación de movimiento: calcula la fuerza (a partir de la ecuación de fuerza) y la aceleración, luego obtenga la nueva velocidad como la velocidad anterior menos la aceleración multiplicada por el paso de tiempo. La nueva distancia es la distancia anterior más la velocidad media multiplicada por el paso de tiempo.

Usted crea (en la columna A) los pasos de tiempo que desea (elegí 0,5 ms; eso parece funcionar bien) y luego copia la fórmula de la fila 3 tantas líneas como desee.

Ahora puede trazar la velocidad en función de la distancia. Obtuve el siguiente gráfico:

Nota: también calculé una "caída" de columna, pero para la velocidad y la distancia dadas, la caída del perdigón fue bastante pequeña: solo 1,5 cm después de 50 m. Nuevamente, esto se debe a que la velocidad inicial que diste fue muy, muy alta.

Si eligió una velocidad inicial más razonable de 500 m/s (todavía bastante rápida), su velocidad después de 30, 40, 50 m de viaje es obviamente menor. Aquí hay una pequeña tabla:

      | init  |  init
after | 1500  |   500
------+-------+---------
 30   |  925  |  309 m/s
 40   |  768  |  263 m/s
 50   |  670  |  224 m/s

Espero que esto ayude.

Aquí hay algunos enfoques que le darán algunas respuestas sólidas. No tengo acceso a ningún programa matemático bonito, así que no he resuelto tu problema de ejemplo. Deberá hacer algunas suposiciones, como la forma de los gránulos, la temperatura/densidad del aire y el terreno. Te dejaré a ti elegir qué enfoque tomar, pero puedes resolverlo.

Mecánica newtowniana

Es posible que haya intentado esto, pero luego descubrió que no funciona bien y que es difícil. De todos modos, la mecánica newtowniana solo le dará una estimación aproximada.

Si está decidido a usar la mecánica newtowniana, usaría algunas matemáticas discretas. Las matemáticas discretas son buenas para esta situación, porque las variables cambian mucho. Básicamente, en lugar de averiguar la respuesta sobre largas distancias y tiempos, calcula las matemáticas para una distancia y un tiempo realmente pequeños, y repite ese cálculo hasta que haya cubierto su larga distancia o tiempo. Puedes hacer esto porque, en escalas más pequeñas, muchas fuerzas se pueden aproximar a ser constantes.

Calcularía la distancia que recorre en un período de tiempo pequeño, considerando la fuerza de arrastre y la gravedad constantes durante ese tiempo. Si sumo cada uno de estos pasos, puedo averiguar aproximadamente a dónde iría.

Mi algoritmo se vería así:

Elija un paso de tiempo (como .001s), defina la posición actual (s = 0), una velocidad actual (v = 1500) y cualquier otra cosa que necesite (como la densidad del aire):

• Calcule la velocidad del proyectil en el paso de tiempo/posición actual
• Calcule la fuerza actual de arrastre en el proyectil
• Calcule la nueva posición del proyectil dada la velocidad actual (s = v * dt)
• Vaya a la nueva posición, calcule la nueva velocidad dada la fuerza de arrastre usando la velocidad en el punto anterior y el paso de tiempo (v2 = v1 - F*dt)
• Repetir hasta v=0, o algún otro punto interesante en el tiempo (como s = 50m)

Eso debería ser fácil de codificar en la mayoría de los lenguajes de programación, y debería darle una aproximación decente si elige un paso de tiempo lo suficientemente pequeño. Aún mejor, si alguna vez obtiene información sólida de los fabricantes, ¡puede volver a este programa y obtener sus respuestas! También puede hacer que el programa imprima una tabla de posiciones y tiempos en cada uno de estos pasos, para que no tenga que ejecutarlo mucho.

Alternativamente, usando la Mecánica newtowniana, podría intentar encontrar algunas integrales y esperar poder integrarlas. Sin embargo, si vas a hacer tanto esfuerzo, entonces también puedes usar la Mecánica Lagrangiana.

Mecánica Langrangiana

Esto es algo que la Mecánica Lagrangiana resuelve muy bien. Si se siente cómodo con el cálculo, use esto sobre la Mecánica newtowniana. También sugiero usar Mathematica o un software similar para ayudar con el trabajo matemático.

Para ser claros, la Mecánica de Langrangian funciona al observar las fuerzas involucradas en un sistema, incluso si no son constantes, y luego descubre cómo debería evolucionar el sistema con el tiempo dadas esas fuerzas. Es mucho más matemático, pero te da resultados muy precisos. (De hecho, ¡hemos estado usando Mecánica Lagrangiana para sistemas balísticos desde hace un tiempo!)

En este caso particular, tienes la fuerza de gravedad sobre tu objeto y tienes la fuerza de arrastre del aire . Además, el ángulo en el que dispare también será importante, así que asegúrese de que sus velocidades reflejen esto cuando exprese sus fuerzas.

¡Espero que estos enfoques te funcionen!