Teoremas inadmisibles en la investigación

Uno de mis amigos ingenieros me contó que una vez tuve que tomar un examen de cálculo compensatorio debido a que estaba hospitalizado y, por lo tanto, aprendí por cuenta propia muchos de los temas perdidos. Para el examen de recuperación, usamos la regla de L'Hôpital, aunque no nos enseñaron eso hasta 1 o 2 exámenes después. Mi amigo me dijo que el profesor escribió

'Todavía no se te permite usar la regla de L'Hôpital.'

Entonces, me gusta decir que la regla de L'Hôpital fue inadmisible en ese examen.

Ahora, tiene absolutamente sentido que si eres el estudiante que no se te permite usar proposiciones, teoremas, etc. de temas futuros, mucho más para futuras clases y especialmente para algo tan básico como cálculo I. También tiene sentido para ajustarse a las especializaciones: ciertamente, a los estudiantes de matemáticas no se les debería permitir usar temas de matemáticas discretas o álgebra lineal para tener una ventaja sobre sus negocios, ciencias ambientales o ingeniería (que toman álgebra lineal más tarde que las carreras de matemáticas en mi universidad) compañeros de clase en cálculo yo o yo

Pero después de los cursos de licenciatura, maestría y doctorado en matemáticas, usted es el investigador y no solo el estudiante (se supone que esto se vincula a un video de Star Wars) : digamos, está haciendo su disertación de doctorado en matemáticas o incluso después de haber terminado el doctorado

¿ Tiene la investigación matemática algo inadmisible ?

No puedo imaginar que tenga algo que probar y luego encuentre algún documento que lo ayude a probar algo y luego acuda a su asesor, quien le dirá: 'Todavía no se le permite usar el teorema de Poincaré' o para algo probado como verdadero hace más de 12 años: 'Todavía no está permitido usar la fórmula de diferenciación de Cauchy '.

En realidad, ¿qué pasa con las matemáticas externas, digamos, la física o la informática?

Habría dicho que en virtud de estar hospitalizado, la regla de L'Hopital debería ser un juego limpio.
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Respuestas (14)

El error, tal como es, que cometió su amigo no fue el uso de l'Hôpital, sino la falta de prueba de que es correcto. Si hubiera establecido l'Hôpital como un lema y proporcionado una prueba suficientemente elemental, entonces presumiblemente el disertante no habría tenido problemas con la solución.

Un fenómeno análogo ocurre en las matemáticas de investigación. Hay muchos resultados populares , donde los investigadores están bastante seguros de que el resultado es cierto, y se conocen las técnicas para probar el resultado, pero nadie ha escrito la prueba o al menos la ha publicado. Estos se pueden encontrar, por ejemplo, en la teoría clásica de la regularidad para ecuaciones diferenciales parciales.

¿Se debe proporcionar una prueba de tal resultado cuando se usa como herramienta? A veces, las personas simplemente se refieren al resultado sin ser explícitos al respecto. A veces lo prueban "porque no podemos encontrar una prueba en la literatura", incluso si la prueba es simple o no al punto de un artículo determinado. No existe una solución absolutamente correcta en estos casos.

Creo que los resultados del folclore son lo más cercano a "inadmisible" que se obtiene en la investigación matemática; hay que tener cuidado con ellos, a veces probarlos, pero a veces también se usan sin prueba.

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¿Tiene la investigación matemática algo inadmisible?

No, pero tratar de probar X sin usar Y sigue siendo un concepto muy útil incluso en la investigación, porque puede llevar a generalizaciones interesantes o nuevas técnicas de prueba que se pueden aplicar a un conjunto más amplio de problemas.

Por ejemplo, en cierto sentido, la integral de Lebesgue "simplemente" intenta probar las propiedades de las integrales sin usar la continuidad de f , o la teoría de las matroides "simplemente" trata de probar las propiedades de los vectores linealmente independientes sin usar una gran cantidad de propiedades de la estructura del espacio vectorial.

Así que esto está lejos de ser un ejercicio sin sentido, si eso es lo que tenías en mente.

Esta es una excelente respuesta. Existe un fenómeno muy amplio que se puede parafrasear como "la restricción genera creatividad". Por ejemplo, hay una razón por la que la gente ha estado escribiendo haikus durante más de ochocientos años. Pero una de las esencias de las "restricciones creativas" es que en gran medida son autoimpuestas .
excelente respuesta Sin embargo, para esta pregunta, diría que la tarea del examen debe indicar explícitamente cualquier restricción de este tipo. Por ejemplo, teníamos reglas de examen del tipo "puedes usar directamente todo lo que hay en esta lista, cualquier otra cosa que necesites debe derivarse de esa lista". En mi humilde opinión, se debe recordar a los estudiantes dichas reglas incluso si se han establecido antes al comienzo de la lección. (Considero no hacer esto como una forma de esas malas preguntas de examen en las que los estudiantes solo pueden obtener puntos completos después de adivinar correctamente el concepto al que se dirige el profesor)
Sin embargo, una nota importante: considero que hay una diferencia muy significativa entre probar resultados usando menos hipótesis o axiomas, y "pretender" no saber teoremas que son consecuencias de las hipótesis que asumes. Prohibir l'Hopital, mientras se asumen resultados más fuertes como el valor medio y el teorema de compresión, está mal definido (el primer lema de mi solución puede ser solo una prueba de l'Hopital) y tiene un beneficio dudoso.
@ PeteL.Clark Incluso hay un XKCD relevante sobre eso.
Tomé una clase basada en pruebas sobre la historia de las matemáticas. Pasamos mucho tiempo buscando pruebas de cosas que podrían lograrse fácilmente con el cálculo y la trigonometría modernos cuando todo el cálculo y la trigonometría estaban prohibidos.

En el sentido en que usted pregunta, no puedo imaginar que haya un método que se declare inadmisible porque el investigador "no está preparado para ello". Todo enfoque intelectual es potencialmente un juego justo.

Sin embargo, si el objetivo específico de un trabajo es encontrar un enfoque alternativo para establecer algo, bien podría darse el caso de que uno o más métodos anteriores se descarten, ya que se asumiría el resultado que se desea establecer mediante otro. camino independiente. Por ejemplo, la constante e se ha derivado de múltiples formas.

Finalmente, una vez que se sale de la teoría pura y se adentra en el trabajo experimental, también se debe considerar la ética de un método experimental. Muchos enfoques potenciales se consideran inadmisibles debido a la naturaleza objetable del experimento. En casos extremos, tales experimentos médicos nazis , incluso haciendo referencia al trabajo anterior, pueden considerarse inadmisibles.

Ah, quiere decir que si quiere, digamos, probar la fórmula de inversión de Fourier probabilísticamente , querrá evitar cualquier cosa que suene como lo que ya sabe que es la prueba o pruebas de la fórmula de inversión de Fourier porque eso sería una derrota. prueba diferente? ¿O algo así como mi pregunta aquí ? Gracias jakebel!
Re fuera de puro: Bueno, ahora eso parece bastante obvio en retrospectiva (es decir, pregunta tonta para fuera de puro). Creo que es mucho menos obvio para puro

Vale la pena señalar que los teoremas suelen ser inadmisibles si conducen a la demostración circular de teoremas. Si estudias matemáticas aprendes cómo se construyen las teorías matemáticas lema por lema y teorema por teorema. Estos teoremas y sus dependencias forman un gráfico acíclico dirigido (DAG).

Si se le pide que reproduzca la prueba de cierto teorema y usa un resultado "posterior", este resultado generalmente depende del teorema que se supone que debe probar, por lo que usarlo no solo es inadmisible por razones educativas, en realidad conduciría a una prueba incorrecta en el contexto del DAG.

En ese sentido, no puede haber teoremas inadmisibles en la investigación, porque la investigación generalmente consiste en probar los teoremas "más recientes". Sin embargo, si publica una prueba más corta, más elegante o más hermosa de un resultado conocido, es posible que deba buscar nuevamente teoremas inadmisibles.

+1 por mencionar explícitamente lo que parece haber sido implícito o mencionado en los comentarios a otras respuestas. Tengo un recuerdo borroso de calificar el examen integral de posgrado de alguien en Canadá, donde se demostró la simplicidad del álgebra de matrices n-by-n (que llevaban marcas no despreciables) apelando al teorema de la estructura de Wedderburn...
Esta es la respuesta correcta a mi mente. Se fortalecería explicando qué tiene que ver esto con l'Hopital como en el comentario de Nate Eldridge. Pero, ¿qué significa DAG?
@NoahSnyder: DAG sin duda significa gráfico acíclico dirigido .
@JW: ¡Gracias! Esperaba que fuera un término técnico en pedagogía o filosofía de la ciencia, no matemáticas.
El bit acíclico de DAG probablemente esté redactado un poco descuidadamente. Es bastante común tener los teoremas A y B que son esencialmente equivalentes, de modo que A puede demostrarse a partir de B y viceversa. Esto crea un ciclo obvio, pero no importa. Entonces, hay al menos dos subgrafos acíclicos que conectan el teorema a probar y sus axiomas, siendo los axiomas las raíces del gráfico. IOW, mientras que cualquier demostración en particular es acíclica, la unión de ellas no lo es.
En Filosofía de la Ciencia, supongo que esta noción justifica las acusaciones de razonamiento circular, a veces hechas con la intención de producir un Cambio de Paradigma . ¿Existe una "regla de tal y tal" para capturar este principio (es decir, la demostración del teorema circular no es un comienzo)?
Un ejemplo quizás muy común de tal circularidad (y en particular relevante para el contexto del OP) es calcular $\lim_{x\to0}\frac{\sin x}x$ usando l'Hôpital, cuando tal vez se calcule este límite "manualmente "podría haber sido importante encontrar la derivada del seno en primer lugar...
@elliotsvensson: probablemente debería indicarle en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_reducibility , pero la palabra axioma ya es un concepto importante aquí. El razonamiento circular, por definición, no logra probar un teorema a partir de axiomas postulados, porque simplemente prueba que el teorema es verdadero si es verdadero y falso si es falso.
@MSalters: los teoremas forman un gráfico acíclico. Si prueba la equivalencia, entre el teorema 1 y el teorema 2 está probando th2 usando el ya probado th1. Pero cuando usa th2 para "probar" th1, en realidad no está probando th1. No puedes probar th1 a partir de th2, porque usaste th1 para probar th2. En su lugar, está demostrando "th2-->th1". Esa es una diferencia y es más bien el hecho de que tendemos a pasar por alto estas sutiles diferencias lo que es un poco descuidado. (Aunque, por supuesto, la redacción de mi respuesta podría mejorarse de muchas maneras)
@BlindKungFuMaster: Mi punto es que cuando puede probar tanto th1 como th2 a partir de los axiomas a1 y a2, no es extraño que th1 pueda probarse alternativamente a partir de th2 y también th2 a partir de th1. El error está en suponer que solo hay una prueba posible.
@MSalters: Por supuesto, son posibles diferentes pruebas. Pero cuando se construye una teoría matemática en el contexto de una conferencia, se prueban los teoremas una vez. Más pruebas no prueban el teorema. Demuestran equivalencias o vinculaciones.

Si bien no existen teoremas inadmisibles en la investigación, hay ciertas cosas que a veces uno trata de evitar.

Dos ejemplos vienen a la mente:

El primero es la clasificación de grupos simples finitos. La clasificación en sí no es particularmente complicada, pero la prueba lo es absurdamente. Esto hace que los matemáticos que trabajan en teoría de grupos prefieran evitar usarla cuando sea posible. De hecho, con bastante frecuencia se señala explícitamente en un documento si un resultado clave se basa en él.

La razón de esta preferencia fue probablemente hasta cierto punto originalmente que la prueba era demasiado complicada para que las personas tuvieran plena confianza en ella, pero mi impresión es que este ya no es el caso, y la preferencia ahora se debe al hecho de que depender de la la clasificación hace que la "razón real" de la verdad de un resultado sea más opaca y, por lo tanto, menos probable que conduzca a nuevas percepciones.

El otro ejemplo es el gran esfuerzo que se ha realizado para tratar de probar la llamada conjetura de Kazhdan-Lusztig usando métodos puramente algebraicos.

El resultado en sí es de naturaleza algebraica, pero la prueba original usa muchos resultados muy profundos de la geometría, lo que hizo imposible usarlo como un trampolín para configuraciones que no permitían esta estructura geométrica.

Tal prueba algebraica fue lograda en 2012 por Elias y Williamson, cuando probaron la conjetura de Soergel, que tiene la conjetura de Kazhdan-Lusztig como una de varias consecuencias.

Las técnicas utilizadas en esta prueba permitieron exactamente el tipo de generalizaciones que se esperaban, lo que condujo primero a una refutación de la conjetura de Lusztig en 2013 (un análogo p característico de la conjetura de Kazhdan-Lusztig), y luego a una prueba de un reemplazo de la conjetura de Lusztig en 2015 (para el tipo A ) y 2017 (en general), al menos bajo algunas suposiciones leves sobre la característica.

¿No pusieron Elias y Williamson la conjetura de KL sobre una base algebraica, o estoy recordando mal las cosas?
@darijgrinberg De hecho lo hicieron. De hecho, quise agregar eso, pero lo olvidé nuevamente mientras escribía. He añadido algunos detalles al respecto.

Hay casos en los que el investigador se limita a no utilizar determinados teoremas. Ejemplo:

Atle Selberg, "Una demostración elemental del teorema de los números primos". Ana. de Matemáticas. (2) 50 (1949), 305--313.

El autor se limita a utilizar sólo métodos "elementales" (en un sentido técnico).

Otros casos pueden ser pruebas en geometría usando solo regla y compás. Gauss demostró que el 257-gon regular se puede construir con regla y compás. No lo consideraría como "una nueva prueba de un resultado conocido".

¿Igual que jakebeal?
Ese caso es diferente porque los investigadores solo están mostrando una nueva prueba para un teorema conocido pero que es más simple (o más elegante) que las pruebas conocidas. En matemáticas, existe una especie de consenso en que las pruebas más simples son mejores (por muchas razones, por ejemplo, son más fáciles de verificar y generalmente dependen de resultados más débiles), por lo que una prueba elemental es un resultado de investigación original, incluso si es una prueba del "mismo tipo" que las existentes (por ejemplo, una prueba algebraica más simple cuando ya se conoce otra prueba algebraica).
@HilderVitorLimaPereira, si se me permite ser un poco quisquilloso, la mayoría de las personas que lo han estudiado consideran que la prueba elemental del teorema de los números primos no es ni más simple ni más elegante que la familia analítica de pruebas. Sin embargo, es más “elemental” (en concreto, no utiliza análisis complejo o de Fourier), que también es una característica muy importante e interesante. Ciertamente, su descubrimiento fue un resultado de investigación importante, por lo que en ese sentido tiene un punto bueno y válido.
@DanRomik Ya veo. Sí, cuando dije "resultados más débiles" en realidad estaba pensando en resultados más elementales en el sentido de que usan teorías que no dependen de una secuencia profunda de construcciones y otros teoremas o que se consideran conocimientos básicos en la comunidad matemática. Gracias por ese comentario.
@HilderVitorLimaPereira ¿quizás ese pensamiento podría llamarse "afirmaciones más débiles"?

Quizás valga la pena señalar que algunos resultados son, en cierto sentido, inadmisibles porque en realidad no son teoremas. Algunas conjeturas/axiomas son tan centrales que se usan ampliamente, aunque aún no se han establecido. Las pruebas que se basen en ellas deberían dejar eso claro en las hipótesis. Sin embargo, no sería tan difícil tener un mal día y olvidar que algo que usas con frecuencia aún no ha sido probado, o que es necesario para un resultado posterior que deseas usar.

Quizás Poincaré fue un mal ejemplo porque fue una conjetura con una gran recompensa durante bastante tiempo, pero supongamos que usé algo que había sido probado durante décadas. ¿Tu respuesta es ahora...?
Hay (desafortunadamente...) todo un espectro entre "teorema inequívoco" y "conjetura" en combinatoria y geometría, debido a los métodos rigurosos que van a la zaga del tipo de argumentos que los investigadores realmente usan.
@BCLC En realidad, la Conjetura de Poincaré fue ampliamente 'usada' antes de su prueba. Los teoremas resultantes incluyen una hipótesis de 'no hay 3 bolas falsas'. Pero también sé de un documento que prueba un resultado topológico utilizando la hipótesis del continuo generalizado.
@darijgrinberg No estoy de acuerdo con tu afirmación. Si algo se cree verdadero, sin importar con qué nivel de confianza, pero no es un teorema "inequívoco" (es decir, un "teorema"), entonces es una conjetura, no "en algún lugar en el espectro entre teorema inequívoco y conjetura". Lo desafío a que me muestre un artículo de matemáticas puras, publicado en una revista confiable, que use una terminología diferente. Estoy bastante seguro de que entiendo a lo que te refieres, pero es probable que otros no lo hagan, y tu uso de un adjetivo como "inequívoco" junto a "teorema" probablemente genere confusión y lleve a algunas personas a pensar... .
... (incorrectamente), que existen los teoremas "equívocos".
@DanRomik: Supongo que fui ambiguo. Por supuesto, estas cosas se expresan como teoremas en los artículos en los que se publican. Pero cuando comienzas a preguntarle a la gente sobre ellas, comienzas a escuchar eehms y uuhms. No creo que el problema se concentre en ciertos autores, sino que es específico de ciertos tipos de combinatoria , y las mismas personas que escriben muy claramente sobre (digamos) álgebra se vuelven vagas y turbias cuando necesitan propiedades de RSK o Hillman-Grassl. ...
@darijgrinberg ok, ahora entiendo mejor lo que quisiste decir, gracias por la aclaración. ¡E interesante pregunta de MO!

En la lógica intuicionista y las matemáticas constructivas tratamos de probar cosas sin la ley del medio excluido, que excluye muchas de las herramientas normales utilizadas en matemáticas. Y en lógica en general, a menudo tratamos de probar cosas utilizando solo un conjunto definido de axiomas, lo que a menudo significa que no se nos permite seguir nuestras intuiciones "normales". Especialmente al probar algo en múltiples sistemas axiomáticos de diferente fuerza, puede obtener que algunas herramientas solo estén disponibles hacia el final (los sistemas más poderosos) y, como tales, son inadmisibles en los sistemas más débiles.

Eso es genial, pero no es lo mismo que tener partes de matemáticas cerradas por un asesor a menos que ambos estén trabajando en ese espacio. El axioma de elección es otro ejemplo que explora la prueba en un espacio reducido. Una vez trabajé en sistemas con un pequeño conjunto de axiomas en los que más podía ser cierto, pero menos podía probarse como cierto. Divertido.
De la misma manera, trabajar en matemáticas inversas generalmente requiere que los argumentos de uno sean demostrables a partir de sistemas de axiomas bastante débiles, lo que conduce a todo tipo de complicaciones que no estarían presentes utilizando conjuntos estándar de suposiciones.

Para responder a su pregunta principal, no . Nada está prohibido. Cualquier asesor permitiría (o al menos debería) permitir cualquier matemática válida. No hay nada en matemáticas que esté prohibido, especialmente en la investigación doctoral. Por supuesto esto implica la aceptación (ya establecida) del teorema de Poincaré. Antes de una prueba aceptada, no podía depender de ella.

De hecho, incluso puedes escribir una disertación basada en una hipótesis (si el gran teorema de la profesora Buffy es cierto, entonces se sigue que...). Puede explorar las consecuencias de cosas no probadas. A veces ayuda a conectarlos con resultados conocidos, lo que lleva a una prueba del "gran teorema" y, a veces, ayuda a conducir a una contradicción que muestra que es falso.

Sin embargo, tengo un problema con los antecedentes que ha brindado sobre lo que es apropiado para enseñar y examinar a los estudiantes. Cuestiono la sabiduría del primer profesor al rechazar todo lo que el estudiante sabe. Eso parece miope y convierte al profesor en una puerta que solo permite el paso de algunas cosas.

Por supuesto, si el profesor quiere poner a prueba al estudiante en una técnica particular, puede intentar encontrar preguntas que lo hagan, pero esto también señala la estupidez básica de los exámenes en general. Hay otras formas de asegurar que el estudiante aprenda las técnicas esenciales.

Una educación universitaria no se trata de competir con otros estudiantes y el (horror) problema de una ventaja injusta. se trata de aprender. Si el profesor o el sistema califican a los estudiantes de manera competitiva, están haciendo un mal trabajo.

Si tiene a los 20 estudiantes absolutamente mejores del mundo y califica de manera puramente competitiva, entonces la mitad de ellos estará por debajo del promedio.

Siento que has entendido mal la pregunta.
¿De qué manera, por favor @JessicaB?
@Buffy: La pregunta en realidad no era sobre la clase. La pregunta era sobre si existen cosas "inadmisibles" en el nivel de posgrado.
@cHao, consulte el párrafo largo en el que se aborda directamente.
@Buffy: Pero los otros 2/3 de la respuesta solo se refieren al ejemplo del salón de clases. La respuesta a la pregunta real puede perderse fácilmente en el ruido.
@cHao, lo moví un poco. Espero que no te opongas más.
@Buffy: Funciona para mí. Aquí, tenga un voto positivo. :)
Una razón para "rechazar" los resultados que aún no se han estudiado es que ayuda a evitar la lógica circular. Un ejemplo estándar: se le pide al estudiante que demuestre que lim_{x -> 0} sin(x)/x = 1. El estudiante aplica la regla de L'Hôpital, aprovechando el hecho de que la derivada de sin(x) es cos(x ). Sin embargo, la forma habitual de probar que la derivada de sin(x) es cos(x) requiere conocer el valor de lim_{x -> 0} sin(x)/x. Si "prohíbe" la regla de L'Hôpital para resolver el problema original, evita que surja este problema.
@NateEldredge, si dice 'demostrar "X" sin usar L'Hôpital', entonces es una pregunta justa. Pero sin ese calificativo, ¿cómo se puede rebajar de manera justa al estudiante después del hecho? Yo llamaría 'falta'. Así que sí, prohíbalo si quiere, pero explíquelo. Ese no parece ser el caso en esta configuración.
Bueno, puede tener una política de curso permanente para no asumir resultados aún no probados. Esto es tan común que el instructor puede haber asumido que era evidente. O bien, la rebaja puede haber sido en realidad por lógica circular, pero el razonamiento se explicó mal o se malinterpretó.
@NateEldredge, lo que dice parece razonable, pero no lo es en este caso. El estudiante fue hospitalizado y estudió por su cuenta. Eso en sí mismo era una desventaja. Ahora, si quieres imponer (después del hecho) otro hándicap, lo llamo 'foul'. Esta es precisamente la razón por la cual los exámenes son un sustituto tan pobre para asegurar el aprendizaje. El instructor no puede, razonablemente, pensar en todo. No se debe esperar que el estudiante sepa meta-reglas secretas. Sí, el estudiante necesita comprender el razonamiento circular, pero el examen es un vehículo deficiente para hacerlo. La presión por sí sola te hace captar la primera solución razonable.
@Buffy Pero, ¿dónde trazar la línea entonces? Digamos que un examen de teoría de grupos pide mostrar que un grupo de algún orden dado no es simple. ¿Se debe permitir que el estudiante diga simplemente "sigue de la clasificación", o tal vez simplemente (en caso de que el orden sea impar) "sigue de Feit-Thompson"?
@TobiasKildetoft, donde trazo la línea es depender demasiado de los exámenes. Pero si un estudiante da una respuesta fuera de lo común, en lugar de simplemente marcarla como incorrecta , puede explorar con el estudiante lo que está sucediendo y, tal vez, aumentar su comprensión. Haga que los estudiantes trabajen, no solo recuerden cosas en un entorno de alta presión.
Buffy, cc @NateEldredge ¿Cómo es una meta-regla secreta para no usar capítulos futuros? Ah, ok, creo que veo el malentendido. La regla de L'Hôpital en nuestro libro de texto (Stewart) está en el Capítulo 4 mientras que el examen (olvidé si era el segundo examen o el parcial) cubre como máximo los Capítulos 1 - 3. No es el caso que la regla de L'Hôpital fuera discutido junto con los temas de los Capítulos 1 - 3 y luego dijo que para el examen, la regla de L'Hôpital no será permitida. Creo que esto debería haber quedado claro porque el comentario era 'Todavía no se le permite usar la regla de L'Hôpital'. Entonces otra vez...
...Supongo que es posible haber comenzado el Capítulo 4 incluso antes de que todos los exámenes de los Capítulos 1 - 3 hayan terminado, por ejemplo, el Capítulo 3 termina el lunes, el Capítulo 4 comienza el martes, pero el examen del Capítulo 3 es el viernes. Por lo tanto, la regla de L'Hôpital podría discutirse antes del examen del Capítulo 3, pero el examen del Capítulo 3 no permite la regla de L'Hôpital. ¿Es esto lo que tenías en mente? Quizás no estaba claro entonces. En ese caso, podría sustituir la regla de L'Hôpital por la convergencia de series o límites multivariables. Pero ese no es realmente el punto de la pregunta...
@BCLC, no entiendo el comentario. Si se da una regla explícita, entonces no tengo ningún problema con ella. El estudiante tampoco. Pero la pregunta original no decía eso.
Supongamos que dije convergencia de series en lugar de la regla de L'Hôpital. ¿Cambia tu respuesta?
Lo siento, no voy a especular. Esto se ha convertido en una discusión sin fin. Está perdiendo sentido. Considere, por favor, mis comentarios sobre los exámenes en general.
Estoy de acuerdo con la posición de @NateEldredge. Este tema ya ha sido discutido aquí .
Evitar la lógica circular parece una buena idea, pero elude la cuestión de las definiciones. Si defino sin(x) en términos de una serie de potencias, o un exponencial complejo, no es obvio por qué necesito el límite de sin(x)/x para diferenciarlo, incluso si puede haber alguna razón profunda. ¿O tengo que demostrar que mi definición de sen(x) tiene algo en común con la geometría de los círculos, antes de poder usarla en un examen?
Creo que la regla de L'Hopital es excepcionalmente perniciosa y hace que los estudiantes no aprendan sobre los límites e inmediatamente olviden todo sobre los límites, de una manera que esencialmente no tiene buenos paralelos en otras partes del plan de estudios de matemáticas elementales. Así que no creo que puedas sustituirlo por otra cosa y hacer la misma pregunta. Alguien que usa L'Hopital para decir calcular \lim_{x\rightarrow 0} \frac{x^2}{x} no muestra una comprensión más avanzada del material, muestra que no entiende el material !

No creo que haya teoremas inadmisibles en la investigación, aunque obviamente uno tiene que cuidarse de no confiar en suposiciones que aún no se han probado para un problema en particular.

Sin embargo, en términos de trabajo de doctorado o posdoctorado, creo que algunos enfoques pueden estar bastante "fuera de tema" debido a razones que no son realmente académicas. Por ejemplo, si obtiene una financiación de doctorado para estudiar el tema X, normalmente no debe usarla para estudiar Y. De manera similar, si obtiene un posdoctorado en un equipo que desarrolla el método A, y desea estudiar el método B de su competidor, su El PI puede querer limitar el tiempo que pasa en B, para que no exceda el tiempo que dedica a desarrollar A. Algunos PI son bastante notorios en el sentido de que no tolerarán que usted incluso toque algún método C, debido a su razones importantes, por lo que aunque tiene total libertad académica para ir y explorar el método C si lo desea, puede ser "inadmisible" hacerlo dentro de sus arreglos de trabajo actuales.

Gracias Dmitry Savostyanov! Esto suena como algo que tenía en mente, pero ¿esto es para investigación aplicada? ¿O también para la investigación teórica?
Incluso en matemáticas puras, las personas pueden ser muy protectoras a veces. Y las personas en matemáticas aplicadas pueden tener una mente muy abierta. Se trata más de enfoques personales de la ciencia, tal vez.
Gracias Dmitry Savostyanov. Sabía que tenía que haber algo como esto. omoidoori x3 (como dice light yagami)

Voy a dar un punto de vista relacionado desde fuera de la academia, es decir, una organización de investigación comercial/gubernamental.

Me he encontrado con investigadores y gerentes que se ven obstaculizados por lo que llamo una mentalidad de examen , en la que asumen que una pregunta de investigación solo puede responderse con un conjunto de datos proporcionado y no pueden hacer referencia a otros datos, resultados, estudios, etc.

Descubrí que esta mentalidad de examen es extremadamente limitante y surge porque el investigador o gerente tiene una idea errónea sobre la investigación que ha sido adoctrinada desde su educación (principalmente basada en exámenes).

El quid de la cuestión es que al no utilizar datos/técnicas/estudios sobre bases arbitrarias se sofoca la investigación. Conduce a oportunidades perdidas para que las organizaciones comerciales obtengan ganancias, o consecuencias perdidas cuando los gobiernos introducen nuevas políticas, o efectos secundarios perdidos de nuevos medicamentos, etc.

perspectiva interesante. gracias usuario47796!

Agregaré un pequeño ejemplo de Ciencias de la Computación Teórica y diseño de algoritmos.

Es un problema abierto muy importante encontrar un algoritmo combinatorio (o incluso basado en LP) que logre el límite de Goemans-Williamson (0.878) para aproximar el problema MaxCut en tiempo polinomial.

Sabemos que usando técnicas de Programación Semidefinida, se puede lograr un límite en el factor de aproximación de alfa = 0.878 en politiempo. Pero, ¿podemos lograr este límite usando otras técnicas? Ligeramente menos ambicioso pero probablemente igualmente importante: ¿Podemos encontrar un algoritmo combinatorio con garantía de aproximación estrictamente mejor que 1/2?

Luca Trevisan había hecho importantes avances en esa dirección utilizando técnicas espectrales.

¡ah, una respuesta informática! gracias psysp!

El axioma de elección (y sus corolarios) están bastante bien aceptados en estos días en la comunidad matemática, pero de vez en cuando puede encontrarse con algunos matemáticos de la vieja escuela que piensan que es "incorrecto" y, por lo tanto, que cualquier corolario que use el el axioma de elección para probar también es "incorrecto". (Por supuesto, lo que significa que el axioma de elección sea "incorrecto" es una cuestión en gran parte filosófica).

En la investigación, usaría el método más aplicable (que conoce) para demostrar una solución, y posiblemente también estaría en situaciones en las que se le pregunta u ofrece enfoques alternativos para su solución (y luego aprende un nuevo método).

En el ejemplo donde la regla de L'Hôpital estaba "no permitida", podría ser que la pregunta podría haberse redactado mejor, ya que suena como una pregunta de "resuelve esto", asumiendo que los estudiantes solo conocen los métodos enseñados en el curso y por lo tanto, solo se utilizarán en el examen los métodos enseñados en el curso.

No había ambigüedad en la pregunta. La regla de L'Hôpital no nos fue presentada hasta nuestro tercer o cuarto examen. Mi amigo ingeniero se estaba recuperando para nuestro segundo examen o nuestro examen parcial o ambos (se me olvidó). Hubiera sido como usar la definición de secuencia de continuidad en el primer examen de una clase de análisis elemental si dicha clase enseña secuencias al final (como lo hizo la mía)
Lo entiendo, pero el momento en que se introdujo no influye en si los estudiantes ya saben cómo usarlo. Sería lo mismo preguntar, "Muestre que la primera derivada de x^2 es 2x, y luego decirle a los estudiantes que lo resolvieron usando la diferenciación implícita que eso no está permitido y que deberían haber usado la diferenciación explícita.
Mick, pero fue un examen de recuperación. ¿Sería injusto para los estudiantes que tomaron el examen a tiempo porque no conocíamos la regla de L'Hôpital en ese momento?
No se trata de ser justo. Se trata de que las matemáticas se construyan sobre sí mismas. A menudo, se espera que resuelvas las cosas de cierta manera para asegurarte de que comprendes lo que las cosas posteriores te permiten simplificar o ignorar. Si había un método previsto, debería haber estado en las instrucciones. Pero es una suposición común que si no te lo han enseñado, aún no lo sabes.
Sin negar las otras sugerencias sobre por qué podría rechazarse, la equidad con otros estudiantes es irrelevante. El propósito de un examen es evaluar o verificar lo que has aprendido, no decidir quién gana una competencia.
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