Tamaño del Universo Observable [duplicado]

Marco explicativo: espacio-tiempo foliado

En la Relatividad General, que se usa para describir el universo en escalas de longitud cosmológicas, las distancias espaciales y temporales ya no son cantidades absolutas. Además, en astronomía, existen varios métodos para determinar una distancia, que podrían discrepar en escalas de longitud cosmológicas.

Por lo tanto, es conveniente visualizar inicialmente el problema en un marco que facilite la comprensión de las cantidades involucradas y la pregunta concreta.

En el formalismo 3+1 de la Relatividad General, el espacio-tiempo se describe como una foliación de hipersuperficies espaciales, es decir, tridimensionales, a lo largo del eje del tiempo. En la figura, cada rebanada$\Sigma_t$representa el espacio tridimensional en un momento dado$t$.

Mirando al pasado

Como la luz siempre viaja localmente con la velocidad de la luz,$\mathrm{c}$, en escalas de gran longitud se vuelve importante que la luz que llega al observador en la Tierra en un momento$t_0$("hoy") se ha emitido en su origen en un momento$t_e:<t_0$, es decir, antes de$t_0$.

Expansión del universo

Experimentalmente, midiendo la velocidad de los objetos distantes con respecto a nosotros y midiendo su distancia, uno encuentra que los objetos que están más lejos se alejan de nosotros con mayor velocidad. Esto se llama Ley de Hubble .

$$v=H_0 \cdot D \tag{Hubble’s Law}$$

$\displaystyle v:\equiv\frac{dD}{dt}$es la velocidad del objeto relativa a nosotros.$D$es la distancia adecuada al objeto, que es la distancia dentro de un segmento espacial en un momento dado (como se ve en la figura). Y$H_0$, por razones históricas, se llama constante de Hubble . Pero en realidad,$H(t)$es una función del tiempo:

Parametrización de una expansión del universo, donde la distancia adecuada$D(t)$entre dos objetos hay una distancia fija en el tiempo, la distancia de comovimiento ,$x$, multiplicado por un factor de escala dependiente del tiempo$R(t)$, (es decir, todas las distancias crecen a medida que el universo se expande con un factor de escala creciente$R(t)$),

$$D(t) = x \cdot R(t) ,$$

uno encuentra, que el parámetro de Hubble$H(t)$es en realidad la tasa relativa de expansión en el tiempo$t$:

$$v(t) \equiv \frac{dD(t)}{dt} = \frac{d}{dt} \left( x \cdot R(t) \right) = x \cdot \frac{dR(t)}{dt} = \frac{D(t)}{R(t)} \cdot \frac{dR(t)}{dt} \equiv \frac{\dot R(t)}{R(t)} \cdot D(t) \equiv H(t) \cdot D(t)$$

Escribiendo juntas la expresión de la izquierda y la de la derecha,$v(t) = H(t) \cdot D(t)$, se ve, que la Ley de Hubble,$v = H_0 \cdot D$, describe un caso especial, a saber, la situación "hoy":$v(t_0) = H(t_0) \cdot D(t_0)$, dónde$H(t_0)\equiv H_0 = \dot R(t_0) / R(t_0)$.

Velocidad superlumínica

¿Significa esto que el Universo se está expandiendo más rápido que la velocidad de la luz?

En cierto modo, eso es correcto. la distancia adecuada$D$entre un objeto distante y nosotros puede crecer más rápidamente que la velocidad de la luz. Pero eso no se debe a que los objetos se muevan localmente más rápido que la velocidad de la luz.

$$\frac{dD}{dt} = \frac{dx\,R}{dt} + \frac{x\,dR}{dt}$$

En la fórmula anterior, el término$\displaystyle \frac{dx\,R}{dt}$puede interpretarse como la velocidad local , o velocidad peculiar , el término$\displaystyle \frac{x\,dR}{dt}$como la parte de la velocidad aparente que es causada por la expansión del espacio.

En este formalismo, la afirmación de que nada puede moverse más rápido que la velocidad de la luz, significaría que nada puede moverse localmente más rápido que la velocidad de la luz:

$$v_\text{local} := \frac{dx\,R}{dt} \leq \mathrm{c}$$

Pero nada impide que el universo se expanda más rápidamente que la velocidad de la luz, es decir, impide que el factor de escala$R(t)$de crecer

Por tanto, dado que$v_\text{local}$tiene que ser menor que la velocidad de la luz, la "velocidad"$\displaystyle \frac{dD(t)}{dt}$, observado en la Tierra, que corresponde a la distancia adecuada,$D(t):=x\cdot R(t)$, todavía puede ser mayor que la velocidad de la luz.

No es del todo exacto, pero como demostración, uno puede visualizar un globo con monedas pegadas a su superficie. A medida que infla el globo, la distancia adecuada entre las monedas crece, pero localmente el tamaño de las monedas permanece igual.

edad del universo

En cosmología, se puede parametrizar el parámetro de Hubble$H(t)$por parámetros cosmológicos , que pueden ser medidos, experimentalmente, por varios métodos. Por lo tanto, uno sabe$H$en función del factor de escala$R(t)$y esos parámetros cosmológicos.

$$H=H(t)=H(R(t), \text{several cosmological parameters})$$

Discutiendo la ley de Hubble arriba, hemos visto que$\displaystyle H(t)=\dot R(t)/R(t) = \frac{dR(t)}{dt}/R(t)$. Resuelto por$dt$, que lee$\displaystyle dt=dR \cdot \frac{1}{HR}$.

Integrando sobre cada intervalo de tiempo infinitesimal$dt$del big bang ($t=0$) hasta hoy ($t=t_0$) da la edad del universo $t_0$:

$$t_0 = \int_0^{t_0} dt = \int_0^{R(t_0)} dR\,\frac{1}{R\,H(R, \text{cosm. param.})} \approx 13.7\,\text{Gyr}$$

Tamaño del universo observable

Sólo podemos observar el universo mirando las partículas, por ejemplo, los fotones, es decir, la luz, que nos llega. Dado que localmente nada puede viajar más rápido que la velocidad de la luz, la distancia que la luz podría haber viajado dentro de la edad del universo ,$t_0$, determina el tamaño del universo observable .

La distancia al horizonte de partículas ,$r_p$, es la distancia de un objeto que ha emitido partículas (luz), que nos llegan hoy, y fueron emitidas a$t=0$, es decir, hace una era del universo.

¿Qué tipo de distancia? distancia adecuada,$D:=R\,x$, o distancia de comovimiento,$x$?

Una cosa razonable sería preguntar por el tamaño del universo tal como es hoy, es decir, preguntar por la distancia adecuada, como se muestra en la figura.

Pero, más comúnmente, el factor de escala$R(t)$se define tal que$R(t_0)=1$. Por lo tanto, si preguntamos por el horizonte de partículas de hoy,$r_p$($t=t_0$), no hay diferencia.

$$r_p := D_p(t_0) = x_p \, R(t_0), \ \ \ R(t_0)=1$$

Cómo calcular el tamaño adecuado del universo

Encontré en un sitio web que tiene 46B LY de ancho en cada dirección

Esta cantidad se refiere a la distancia al horizonte de partículas,$r_p$, es decir, al radio del universo observable. El diámetro sería el doble de grande.

$$\text{proper radius of the observable universe} = r_p \approx 46\,Gly$$

Esto se puede calcular de manera similar al cálculo de la edad del universo como se muestra arriba.

$$r_p = D_p(t_0) = R(t_0)\cdot x_p = R(t_0)\int_0^{x_p} dx$$

eso lo hemos visto$\displaystyle v_\text{local} := \frac{dx\,R}{dt} \leq \mathrm{c}$. Por la luz, sabemos,$v_\text{local}=\mathrm{c}$. Por lo tanto, para la luz,$\displaystyle dx = \frac{\mathrm{c}\,dt}{R}$.

$$r_p = R(t_0)\int_0^{x_p} dx = R(t_0)\int_0^{t_0} \frac{\mathrm{c}\,dt}{R(t)} = R(t_0)\int_0^{R(t_0)} dR \frac{\mathrm{c}}{R} \frac{1}{R\,H(R, \text{cosm. param.})} \approx 46\,Gly$$

Tamaño del resto del universo

Dado que el horizonte de partículas representa el límite desde donde nos puede haber llegado cualquier información, en principio no podemos saber qué hay detrás de ese horizonte. Por lo tanto, uno no puede saber el tamaño real del resto del universo. Ni siquiera se puede saber con certeza si existe el resto del universo, pero es una suposición conveniente.

Pero los modelos de la expansión inflacionaria del universo de una edad temprana sugieren que el universo real es considerablemente más grande que el universo observable.

Estos modelos son sólidos para explicar la formación de la estructura del universo, es decir, cómo y en qué escalas de longitud podrían haberse formado cúmulos de galaxias, etc., a pesar de que el universo es homogéneo en escalas más grandes. También resuelven el problema de ajuste fino cosmológico , o problema de planitud :

El universo parece plano hasta donde podemos ver (es decir, no geométricamente curvo, es decir, la suma de los ángulos en un triángulo es de 180 grados) en escalas observables grandes, a pesar de que sería más probable que el universo sea curvo.

Los modelos de inflación resuelven este problema sugiriendo que el universo real podría en realidad ser curvo si fuera lo suficientemente grande: entonces, la parte observable del universo sería lo suficientemente pequeña para parecer plana. Como si pudieras describir la superficie de la Tierra como localmente plana aunque la Tierra sea una esfera.

Pero a partir de esta analogía se puede ver que, si estos modelos inflacionarios son correctos, el resto del universo tiene que ser significativamente más grande que el universo observable.

Otras lecturas

1. Schneider, Introducción a la astronomía y cosmología extragaláctica , Springer, cap. 4.
2. d'Inverno, Introducción a la relatividad de Einstein , cap. 23
3. Hobson et al., General Relativity, An Introduction for Physicists , Cambridge University Press, cap. 14. En particular, el capítulo 14.11 para las diferentes medidas de distancia cosmológica.
4. Artículo de Wikipedia sobre medidas de distancia en cosmología: Medidas de distancia (Cosmología)
5. Artículo de Wikipedia sobre el tamaño del universo observable, incluidos conceptos erróneos comunes: Universo observable , sección Tamaño .