Supongamos que hay un vector v⃗ v→\vec v que es una función del tiempo, entonces ddt|v⃗ |ddt|v→|\dfrac{d}{dt}|\vec v| ser una cantidad vectorial o una cantidad escalar?

La matemática cuidadosa es así:

La tasa de cambio de la velocidad de la partícula está dada por

$$\frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}.$$ Usando las reglas de diferenciación de la cadena y del producto, obtenemos $$\frac{dv}{dt} = \frac{1}{2\sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}}\frac{d}{dt}\vec{v}\cdot\vec{v} = \frac{1}{2v}\left(\frac{d\vec{v}}{dt}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\frac{d\vec{v}}{dt}\right) = \frac{1}{2v}\left(\vec{a}\cdot\vec{v}+\vec{v}\cdot\vec{a}\right) = \frac{\vec{a}\cdot\vec{v}}{v} = \vec{a}\cdot\hat{v},$$ dónde$\hat{v}$es el vector unitario en la dirección de$\vec{v}$, entonces$\hat{v}$es la direccion de$\vec{v}$. A partir de esto, podemos ver que dado que estamos punteando la aceleración en la velocidad, obtenemos la componente de$\vec{a}$a lo largo de$\hat{v}$que conduce a cambios en la velocidad. Este componente es lo que llamarías$a_t = \vec{a}\cdot\hat{v}$, y debido al producto escalar, manifiestamente no es una cantidad vectorial .

A continuación, observamos cómo la dirección de$\vec{v}$está cambiando. Desde la dirección de$\vec{v}$es solo$\hat{v}$, queremos calcular la derivada de$\hat{v}$:

$$\frac{d\hat{v}}{dt} = \frac{d}{dt}\frac{\vec{v}}{v} = \frac{1}{v}\frac{d\vec{v}}{dt} - \vec{v}\frac{1}{v^2}\frac{dv}{dt},$$ donde nuevamente usamos la regla del producto (primero) y luego la regla de la cadena. Reorganizamos esta ecuación con cuidado y la sustituimos por$dv/dt$de nuestro cálculo anterior, resultando en $$\frac{d\hat{v}}{dt} = \frac{1}{v}\left(\vec{a} - (\vec{a}\cdot\hat{v})\hat{v}\right).$$ La cantidad entre paréntesis es exactamente el componente de$\vec{a}$ perpendicular a la velocidad. (Puede verificar la ortogonalidad tomando el producto escalar de este vector con$\vec{v}$y encontrar que es cero.) El cambio de dirección $d\hat{v}/dt$por lo tanto depende sólo de esta componente perpendicular, que podríamos llamar$\vec{a}_r = \vec{a} - (\vec{a}\cdot\hat{v})\hat{v}$.

$a_t=d|v_{t}|/dt$

Esto solo da la magnitud de la aceleración tangencial, la aceleración tangencial total es una cantidad vectorial.

$|\vec{v}|$es la norma del vector$\vec{v}$, y es un valor escalar. Si$\vec{v}$es la velocidad,$|\vec{v}|$es la velocidad

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\vec{v} = \vec{a}$, el vector de aceleración.

Cuando decimos "aceleración tangencial", la dirección es "la dirección tangencial"

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} |\vec{v}_t| = |\vec{a}_t|$es la magnitud de la aceleración tangencial.

La derivada temporal de$\lvert \vec v \rvert$es la componente tangencial de la aceleración, que es una cantidad escalar, y no la proyección tangencial , que es un vector.

Dejando a un lado la física, dado cualquier vector$\vec u$y cualquier vector distinto de cero$\vec v$, puede definir el componente de$\vec u$en la dirección de$\vec v$como una cantidad escalar:$\operatorname { comp } _ { \vec v } \vec u = \vec u \cdot \vec v / \lvert \vec v \rvert$. También puede definir la proyección de$\vec u$a lo largo de la dirección de$\vec v$como cantidad vectorial:$\operatorname { proj } _ { \vec v } \vec u = ( \vec u \cdot \vec v / \lvert \vec v \rvert ^ 2 ) \, \vec v$. Estos están relacionados, como$\operatorname { proj } _ { \vec v } \vec u = ( \operatorname { comp } _ { \vec v } \vec u ) \, \vec v / \lvert \vec v \rvert$, y$\operatorname { comp } _ { \vec v } \vec u = \pm \lvert \operatorname { proj } _ { \vec v } \vec u \rvert$(con más si$\vec u \cdot \vec v$es positivo, menos si$\vec u \cdot \vec v$es negativo, y ambos si$\vec u \cdot \vec v$es cero porque entonces ambas cantidades son cero).

Cuando$\vec v$es un vector base estándar ($\hat \imath$o$\hat \jmath$en 2 dimensiones), entonces estos son los componentes ordinarios; eso es,$\operatorname { comp } _ { \hat \imath } ( a \hat \imath + b \hat \jmath ) = a$, y$\operatorname { comp } _ { \hat \jmath } ( a \hat \imath + b \hat \jmath ) = b$. En contraste,$\operatorname { proj } _ { \hat \imath } ( a \hat \imath + b \hat \jmath ) = a \hat \imath$, y$\operatorname { proj } _ { \hat \jmath } ( a \hat \imath + b \hat \jmath ) = b \hat \jmath$. También puedes escribir$\vec u = ( \operatorname { comp } _ { \hat \imath } \vec u ) \hat \imath + ( \operatorname { comp } _ { \hat \jmath } \vec u ) \hat \jmath$y$\vec u = \operatorname { proj } _ { \hat \imath } \vec u + \operatorname { proj } _ { \hat \jmath } \vec u$. (Y esto funciona para cualquier base ortonormal, no solo para la base estándar$\{ \hat \imath , \hat \jmath \}$.) Por eso, incluso en el caso general, usamos la palabra 'componente'. (Por la razón por la que decimos 'proyección', imagínese brillando una luz sobre$\vec u$desde una dirección perpendicular a$\vec v$y observando su sombra sobre la línea que atraviesa$\vec v$.)

Ahora, cuando$\vec v$es el vector de velocidad de un objeto en movimiento, entonces la dirección de$\vec v$(asumiendo que$\vec v$es distinto de cero para que esto tenga sentido) siempre es tangente a la curva de movimiento, por lo que$\operatorname { comp } _ { \vec v } \vec u$puede llamarse la componente tangencial de$\vec u$, y$\operatorname { proj } _ { \vec v } \vec u$es la proyección tangencial de$\vec u$. Si$\vec u$es la aceleración$\mathrm d \vec v / \mathrm d t$(dónde$t$es el tiempo), luego diferenciando$\lvert \vec v \rvert ^ 2 = \vec v \cdot \vec v$, obtenemos$2 \lvert \vec v \rvert \, \mathrm d \lvert \vec v \rvert = 2 \vec v \cdot \mathrm d \vec v$, entonces$\mathrm d \lvert v \rvert / \mathrm d t = \vec v \cdot \vec u / \lvert \vec v \rvert = \operatorname { comp } _ { \vec v } \vec u$. Así, la derivada de la velocidad con respecto al tiempo es la componente tangencial de la aceleración.

Entonces estás escuchando 'aceleración tangencial' e interpretando esto como la proyección tangencial, lo que te confunde ya que es un vector. Pero lo que realmente se quiere decir (y debería decirse) es la componente tangencial de la aceleración, y eso es un escalar.