Superconductividad y simetría de inversión de tiempo

Question

Superconductividad y simetría de inversión de tiempo

Física
superconductividad
tiempo-inversión-simetría
aisladores-topologicos

TRSC

Consideremos un sistema de un borde 1D de un aislador topológico 2D en la proximidad de un superconductor de onda s. El sistema está descrito por el hamiltoniano:

H = \frac{1}{2} \int d X Ψ^{†} (X) H (X) Ψ (X)

$H =\frac{1}{2} \int \mathrm{d}x \ \Psi^{\dagger}(x) \mathcal{H}(x) \Psi(x)$ con hamiltoniano de una sola partícula

H (X) = (\begin{matrix} - i ℏ v \partial_{X} & 0 & 0 & Δ \\ 0 & i ℏ v \partial_{X} & - Δ & 0 \\ 0 & - Δ & - i ℏ v \partial_{X} & 0 \\ Δ & 0 & 0 & i ℏ v \partial_{X} \end{matrix})

$\mathcal{H}(x) = \begin{pmatrix} -i\hbar v\partial_{x} & 0 & 0 & \Delta \\ 0 & i\hbar v\partial_{x} & -\Delta & 0 \\ 0 & -\Delta & -i\hbar v\partial_{x} & 0 \\ \Delta & 0 & 0 & i\hbar v\partial_{x} \end{pmatrix}$ y el espinor de cuatro componentes

Ψ (X) = (\begin{matrix} Ψ_{↑} (X) {mi}^{i Φ / 2} \\ Ψ_{↓} (X) {mi}^{i Φ / 2} \\ Ψ_{↑}^{†} (X) {mi}^{- i Φ / 2} \\ Ψ_{↓}^{†} (X) {mi}^{- i Φ / 2} \end{matrix}) .

$\Psi(x) = \begin{pmatrix} \Psi_{\uparrow}(x) \ e^{i\Phi/2} \\ \Psi_{\downarrow}(x) \ e^{i\Phi/2} \\ \Psi^{\dagger}_{\uparrow}(x) \ e^{-i\Phi/2} \\ \Psi^{\dagger}_{\downarrow}(x) \ e^{-i\Phi/2} \end{pmatrix}.$ Aquí

v

$v$ es la velocidad de Fermi,

Δ > 0

$\Delta>0$ es la brecha superconductora y

Φ

$\Phi$ es la fase superconductora. He eliminado la fase superconductora del hamiltoniano de una sola partícula y la he reinstalado en la definición de mi espinor electrónico (mediante una transformación unitaria adecuada). Esto refleja el hecho de que la fase superconductora absoluta no se puede medir cuando consideramos un solo superconductor.

Estoy siguiendo de cerca http://arxiv.org/abs/0912.2157 y estoy introduciendo la operación de simetría de inversión de tiempo para el hamiltoniano de una sola partícula $\mathcal{H}(x)$ . Esto se hace definiendo la matriz

{tu}_{T} = (\begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \end{matrix})

$U_{T}=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ \end{pmatrix}$ Entonces observamos que

{tu}_{T}^{†} H^{*} (X) {tu}_{T} = H (X)

$U_{T}^{\dagger}\mathcal{H}^{*}(x)U_{T}=\mathcal{H}(x)$ por lo que se espera que el sistema sea simétrico en inversión de tiempo. Ahora me muevo a la segunda imagen cuantizada al declarar que la operación de simetría de inversión de tiempo

T

$\mathcal{T}$ actúa sobre mis operadores como

T Ψ (X) T^{- 1} = {tu}_{T} Ψ (X)

$\mathcal{T}\Psi(x)\mathcal{T}^{-1}=U_{T}\Psi(x)$ Así por ejemplo

T Ψ_{↑} (X) {mi}^{i Φ / 2} T^{- 1} = Ψ_{↓} (X) {mi}^{i Φ / 2}

$\mathcal{T}\Psi_{\uparrow}(x)e^{i\Phi/2}\mathcal{T}^{-1}=\Psi_{\downarrow}(x)e^{i\Phi/2}$ Esta ley de transformación (aunque sigue de cerca http://arxiv.org/abs/0912.2157 página 7) me parece extraña, porque debido a la simetría de inversión antiunitaria del tiempo, es decir

T i T^{- 1} = - i

$\mathcal{T}i\mathcal{T}^{-1}=-i$ , habría esperado que la ley de transformación

T Ψ_{↑} (X) {mi}^{i Φ / 2} T^{- 1} = Ψ_{↓} (X) {mi}^{- i Φ / 2}

$\mathcal{T}\Psi_{\uparrow}(x)e^{i\Phi/2}\mathcal{T}^{-1}=\Psi_{\downarrow}(x)e^{-i\Phi/2}$ cuando estoy configurando

Φ = 0

$\Phi=0$ o

Φ = π

$\Phi=\pi$ el problema por supuesto desaparece. Pero dado que la fase superconductora global no es física, en este caso el sistema debe ser simétrico en inversión de tiempo, independientemente de la elección de

Φ

$\Phi$ .

¿Alguien puede resolver mi confusión?

FraSchelle

no se donde te metes

T Ψ T^{- 1} = U_{T} Ψ

$T\Psi T^{-1}=U_{T}\Psi$ pero está mal, la definición de simetría de inversión de tiempo es

T Ψ T^{- 1} = U_{T} Ψ^{*}

$T\Psi T^{-1}=U_{T}\Psi^{\ast}$ ya que la operación de inversión temporal está representada por un operador antiunitario.

Meng Cheng

@FraSchelle Aquí

Ψ

$\Psi$ es el segundo operador cuantizado, por lo que no pones

*

$*$ sobre el

Ψ

$\Psi$ 's. La ecuación proviene de arxiv.org/abs/0912.2157 , estos tipos probablemente saben lo que están haciendo :)

FraSchelle

@MengCheng Ok, más ciertamente tienes razón. Todavía no entiendo tu argumento en tu respuesta, pero claramente en mi comentario estaba suponiendo

Ψ

$\Psi$ ser una función de onda. Perdón por el malentendido. ¿Por qué la inversión del tiempo no podía cambiar un

c

$c$ a un

c^{†}

$c^\dagger$ ? No estoy seguro de entender este punto.

Meng Cheng

@FraSchelle La transformación de inversión de tiempo en principio puede cambiar

ψ

$\psi$ a

ψ^{†}

$\psi^\dagger$ , pero esta es una simetría de inversión de tiempo bastante inusual ya que cambia el número total de electrones. Ciertamente el físico no hace eso.

Respuestas (1)

Superconductividad y simetría de inversión de tiempo

no se donde te metes $T\Psi T^{-1}=U_{T}\Psi$ pero está mal, la definición de simetría de inversión de tiempo es $T\Psi T^{-1}=U_{T}\Psi^{\ast}$ ya que la operación de inversión temporal está representada por un operador antiunitario.
@FraSchelle Aquí $\Psi$ es el segundo operador cuantizado, por lo que no pones $*$ sobre el $\Psi$ 's. La ecuación proviene de arxiv.org/abs/0912.2157 , estos tipos probablemente saben lo que están haciendo :)
@MengCheng Ok, más ciertamente tienes razón. Todavía no entiendo tu argumento en tu respuesta, pero claramente en mi comentario estaba suponiendo $\Psi$ ser una función de onda. Perdón por el malentendido. ¿Por qué la inversión del tiempo no podía cambiar un $c$ a un $c^\dagger$ ? No estoy seguro de entender este punto.
@FraSchelle La transformación de inversión de tiempo en principio puede cambiar $\psi$ a $\psi^\dagger$ , pero esta es una simetría de inversión de tiempo bastante inusual ya que cambia el número total de electrones. Ciertamente el físico no hace eso.

Meng Cheng · Answer 1

si definimos $\mathcal{T}=i\sigma_y K$ dónde $K$ es una conjugación compleja, es decir

$\mathcal{T}\psi_\uparrow \mathcal{T}^{-1}=\psi_\downarrow, \mathcal{T}\psi_\downarrow \mathcal{T}^{-1}=-\psi_\uparrow$ ,

Entonces ingenuamente un término como $\Delta e^{i\Phi}\psi_{\uparrow}^\dagger \psi_{\downarrow}^\dagger$ no es invariante bajo $\mathcal{T}$ . Este es básicamente el problema que encontró, expresado de manera un poco diferente. Sin embargo, eso no significa que el sistema realmente se rompa. $T$ , ya que todos los observables físicos serán invariantes bajo $\mathcal{T}$ . La resolución está en la definición de la transformación de $\psi$ bajo $\mathcal{T}$ . Modifiquemos la definición para que sea

$\mathcal{T}\psi_\uparrow \mathcal{T}^{-1}=\psi_\downarrow e^{-i\Phi}, \mathcal{T}\psi_\downarrow \mathcal{T}^{-1}=-\psi_\uparrow e^{-i\Phi}$ .

Esta fase no es observable (esencialmente está redefiniendo las fases de los estados básicos del segundo espacio de Fock cuantificado, lo que no tiene consecuencias en los observables físicos), por lo que somos libres de hacerlo. Note que la importante relación algebraica $\mathcal{T}^2=-1$ (para la clasificación de TI/TSC, etc.) no se ve afectado. Entonces el término de emparejamiento es invariante.

Por supuesto, esto sólo funciona cuando $\Phi$ No depende de posiciones. De lo contrario (por ejemplo, cuando hay un vórtice) uno no puede deshacerse de la fase, ya que $\nabla\Phi$ es un observable, la supercorriente.

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