¿Subir a velocidad terminal minimiza las pérdidas? ¿Pero por qué? ¿Y "de qué"?

Ascender a velocidad terminal es la velocidad más eficiente en combustible para ganar altura (vertical) en estado estable, de modo que la densidad, la velocidad, la aceleración gravitacional y otros parámetros permanezcan constantes durante el ascenso.

Para probar esto, primero tendré que definir el empuje requerido,$F$, que tiene que vencer la gravedad y el arrastre (de modo que la suma de todas las fuerzas sumaría cero) y se puede calcular de la siguiente manera,

$$F = mg + \frac{1}{2} \rho v^2 C_D A,$$

dónde$m$es la masa del cohete,$\rho$la densidad de la atmosfera,$v$la velocidad,$C_D$el coeficiente de arrastre y$A$el área de la sección transversal del cohete.

Este empuje también puede estar relacionado con el flujo másico del combustible expulsado, así

$$F = v_e \dot{m},$$

dónde$v_e$es igual a la velocidad de escape efectiva del motor cohete y$\dot{m}$el flujo másico ($\frac{dm}{dt}$).

Para optimizar la eficiencia del combustible, tendría que minimizar la cantidad de combustible necesaria para ganar altura, por lo tanto, minimizar

$$\frac{d m}{d y} = \frac{dm/dt}{dy/dt} = \frac{\dot{m}}{v} = \frac{mg + \frac{1}{2} \rho v^2 C_D A}{v_e v}.$$

Esto se puede hacer tomando la derivada de esta expresión con respecto a$v$y establecer esto igual a cero,

$$\frac{d}{dv} \frac{mg + \frac{1}{2} \rho v^2 C_D A}{v_e v} = \frac{v_e \rho v^2 C_D A - v_e (mg + \frac{1}{2} \rho v^2 C_D A)}{v_e^2 v^2}=0,$$

$$\rho v^2 C_D A - mg - \frac{1}{2} \rho v^2 C_D A = \frac{1}{2} \rho v^2 C_D A - mg = 0,$$

$$\frac{1}{2} \rho v^2 C_D A = mg.$$

Entonces, la mejor velocidad resulta ser la misma que la magnitud de la velocidad terminal (arrastre igual a la gravedad), pero en la dirección opuesta, por supuesto.

Sin embargo, durante el ascenso solo una pequeña porción inicial de la trayectoria será vertical. Una vez que el cohete comience a cabecear hacia los lados, la velocidad terminal probablemente ya no será la más eficiente.