Spin de bosón vectorial en dimensión superior

Un bosón vectorial V m , m = 0 , . . . , 3 tiene giro 1. A mi entender (corríjame si me equivoco) esto se debe a que se transforma como un vector de 4 bajo la transformación de Lorentz S O ( 1 , 3 ) . Entonces el m = 1 , 2 , 3 componentes formarán una representación irreducible de S O ( 3 ) subgrupo que es isomorfo a la representación de espín 1 de S tu ( 2 ) , por eso V m tiene giro 1.

¿Qué sucede si tengo más de 1+3 dimensiones? digamos que estoy dentro 1 + norte ¿dimensiones? Mi vector debería ser ahora V METRO dónde METRO = 0 , 1 , . . . , norte y la transformación de Lorentz es S O ( 1 , norte ) . La lógica anterior ya no funcionará porque los componentes del espacio ahora se transformarán bajo S O ( norte ) por pura rotación. Así que mi pregunta es: ¿Qué puedo decir sobre el giro de V METRO ? ¿Sigue siendo 1? ¿O algo más y por qué?

Respuestas (1)

El espín de un bosón vectorial en cualquier dimensión es espín 1.

Lo que cambia con el número de dimensiones es el número de grados de libertad asociados con un giro dado. Un vector sin masa en cuatro dimensiones tiene dos grados de libertad independientes, que se pueden ver en el rango de lo que se llama el "pequeño grupo" en la literatura. Es el subconjunto de la simetría espacio-temporal bajo el cual se mantiene invariante un impulso ejemplar para la representación. Para el vector sin masa en 4D, este es un grupo euclidiano de rango 2. También puede intentar averiguar los posibles estados de polarización de un fotón.

En 5D, el pequeño grupo mejora a un grupo de rango 3, es decir, el fotón 5D tiene tres grados de libertad independientes (después de fijar el indicador y todo). Sin embargo, todavía tiene el giro 1.

Ahora, ¿de qué giro estamos hablando? Este giro se corresponde con el grupo de rotación en el espacio 5D de Minkowski. Si realiza una reducción dimensional de esta representación, verá que en 4D se descompone como

1 5 ↦ 1 4 + 0 4
lo que significa que un vector 5D se ve en 4D como un vector y un escalar. El grado de libertad escalar es exactamente cuando el "fotón" se polariza en la dimensión extra.

Entonces, ¿está diciendo que podemos ver cómo gira el fotón 5D cuando lo limitamos a un hiperplano 4D para determinar su giro?
@ user113988 Si te refieres a girar en 4D, sí. Sin embargo, tenga cuidado: el giro de un fotón 5D aleatorio no está bien definido en 4D, ya que las representaciones de giro 5D son una suma de representaciones cuando se proyectan en 4D. Sin embargo, en 5D, su giro siempre será 1.
Entonces, todavía no entiendo por qué el grupo de rotación en el espacio 5D Minkowski es 1. ¿Podrías mostrar el funcionamiento más explícitamente? y como se hace la reduccion dimensional de la representacion 1 5 → 1 4 + 0 4 ? Gracias.
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