Desplazamiento virtual

Esto debería quedar claro dada la definición de un desplazamiento virtual. Veamos eso. Tomo prestado esto de las conferencias sobre mecánica analítica de F Gantmacher .

Considere un sistema de partículas con vectores de posición que denotamos como$\vec{r_i}$. El sistema puede estar sujeto a una restricción.$f(\vec{r_i},\dot{\vec{r_i}},t)=0$. Consideremos una subclase de restricciones$f(\vec{r_i},t)=0$. Se dice que estas restricciones son restricciones holonómicas. Ahora, al diferenciar esta vez, obtenemos

$$\sum_i\frac{\partial f}{\partial\vec{r_i}}\cdot\vec{v_i}+\frac{\partial f}{\partial t}=0$$

Esta ecuación es satisfecha por las velocidades de las partículas. Las velocidades que obedecen a esta ecuación se denominan velocidades permitidas. Definamos los desplazamientos permitidos por$\mathrm d\vec{r_i}=\vec{v_i}~\mathrm dt$. esto satisface,

$$\sum_i\frac{\partial f}{\partial\vec{r_i}}\cdot{\mathrm d\vec{r_i}}+\frac{\partial f}{\partial t}~\mathrm dt=0$$ Ahora podemos definir los desplazamientos virtuales como la diferencia entre dos desplazamientos permitidos. es decir $\delta\vec{r_i}=(\vec{v}^\prime_i-\vec{v}_i)~\mathrm dt$. Por lo tanto esto satisface, $$\sum_i\frac{\partial f}{\partial\vec{r_i}}\cdot\delta{\vec{r_i}}=0$$ Hagamos un ejemplo. Considere un péndulo simple con la longitud de la cuerda $l$unido a un soporte oscilante. Sean las coordenadas de la lenteja $(x,y)$y sean las coordenadas del punto de apoyo dadas por $(L \cos(\Omega t),0)$. Entonces la restricción aquí es $f(x,y,t)=(x-L\cos(\Omega t))^2+y^2-l^2=0$. Entonces los desplazamientos permitidos satisfacen $2(x-L\cos(\Omega t)~\mathrm dx+2y~\mathrm dy+2(x-L\cos(\Omega t))L\Omega\sin(\Omega t)~\mathrm dt=0$mientras que los desplazamientos virtuales satisfacen $2(x-L\cos(\Omega t))~\delta x+2y~\delta y=0$.