Sol, Luna: ¿distancia relativa de la media luna?

Esta es más una pregunta sobre la historia de la astronomía.

Recientemente se me ocurrió que se puede estimar la relación entre la distancia tierra-luna y tierra-sol de la siguiente manera: Podemos observar el triángulo observador-luna-sol. Llame al ángulo en el observador$\alpha$, el ángulo en la luna$\beta$.

• En la etapa de media luna a media luna, el sol y la luna son visibles, por lo que se puede determinar el ángulo$\alpha$(en el observador).
• A partir de la fracción iluminada de la luna, se puede estimar$\beta$. (La precisión es presumiblemente menor aquí).
• Por lo tanto, el tercer ángulo es fijo y se conoce la forma del triángulo (pero no la escala general).

Entonces debería ser posible deducir que el sol está mucho más lejos que la luna. Si pudiéramos obtener una determinación independiente de, digamos, la distancia tierra-luna, se conocería la distancia al sol.

Esto parece bastante sencillo. ¿Se ha utilizado esto históricamente? ¿Qué precisión se logró (pudo haberse logrado)? Por ejemplo, me parece recordar que en el enfoque de las "esferas celestes", la gente al menos ha ordenado los cuerpos celestes según la distancia, pero ¿se ha tenido en cuenta este método?