Sobre la dinámica de dos objetos conectados ubicados en diferentes órbitas circulares

Solo estoy pensando en las implicaciones cualitativas y cuantitativas de un problema orbital hipotético, pero lo que terminé no tiene el sentido que debería.

En particular, suponga que dos objetos se colocan en dos órbitas circulares cercanas y que también están conectados entre sí por un material rígido similar a una cuerda, cuya longitud es$l$, como se muestra en el siguiente croquis.

Supongo que la distancia del objeto superior (resp. inferior) desde el centro de la Tierra es$r'$(resp.$r$). Lo que me interesa es el estudio de la estabilidad global de este sistema en vista de la tasa de adelantamiento del objeto en la órbita inferior (sabemos que el objeto de la órbita inferior es más rápido, superando así a su compañero con el paso del tiempo).

Aquí está mi análisis:

El adelantamiento se puede escribir como

$\Delta x = (v_{d}-v_{u})t.$

Dado el parámetro gravitacional$\mu$, tenemos

$v_d = \sqrt{\dfrac{\mu}{r}},$

$v_u = \sqrt{\dfrac{\mu}{r + l \sin \theta}},$

que terminan con

$\Delta x = \sqrt{\mu} (\dfrac{1}{\sqrt{r}} - \dfrac{1}{\sqrt{r + l \sin \theta}})t$.

Estoy particularmente interesado en el$\dot{\Delta x} = 0$. Así dado$\theta = \theta(t)$, el rol de diferenciación total dice

$\dot{\Delta x} = \dfrac{\partial \Delta x}{\partial t}\dfrac{\partial t}{\partial t}+ \dfrac{\partial \Delta x}{\partial \theta}\dfrac{\partial \theta}{\partial t}.$

En particular, se obtiene

$\dfrac{\partial \Delta x}{\partial t} = \sqrt{\mu} (\dfrac{1}{\sqrt{r}} - \dfrac{1}{\sqrt{r + l \sin \theta}}),$

y

$\dfrac{\partial \Delta x}{\partial \theta} = \sqrt{\mu}(\dfrac{1}{2}l\dot{\theta}\cos \theta (r + l \sin \theta)^{-\dfrac{3}{2}}) t$.

Así, aplicando$\dot{\Delta x} = 0$condición produce la siguiente dinámica correspondiente a$\theta$.

$\dot{\theta} = \dfrac{2(r + l \sin \theta)^{\dfrac{3}{2}})[\sqrt{\dfrac{1}{r + l \sin \theta}}-\sqrt{\dfrac{1}{r}}]}{lt\cos \theta}$

Ahora, es hora de integrar numéricamente la ecuación anterior. En particular, el siguiente script de Python

import numpy as np
import math
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

def f(s,t):
    l = 20
    h = s[0]
    r = 1000
    dhdt = 2*((l*math.sin(h)+r)**(1.5))*((1/math.sqrt(l*math.sin(h)+r))-(1/r))/(t*l*math.cos(h))
    return dhdt

t = np.linspace(0.1,2000)
s0=[20]

s = odeint(f,s0,t)

plt.plot(t,s[:,0],'r--', linewidth=2.0)

plt.show()

genera

La dinámica parece razonable ya que uno espera que$\theta$eventualmente converge al equilibrio$\theta = 0$. Sin embargo, eso$t$, saltando arriba y abajo en el denominador de$\dot{\theta}$, se ve bastante raro porque literalmente implica que la tasa de$\theta$es infinitamente grande cuando se inicia el sistema! ¿Me equivoqué durante mis cálculos?

Cualquier comentario para aclarar la situación es muy apreciado.