Sobre la demostración del teorema de Goldstone de Itzykson y Zuber

En el capítulo 11-2-2, I&Z discuten el teorema de Goldstone. Comienzan afirmando que si un operador$A$existe, tal que

$$\delta a(t) \equiv \langle 0| [Q(t),A]|0\rangle \neq 0 \tag{11-30}$$ la simetría se rompe espontáneamente. En la ecuación. (11-31), insertan una relación de completitud como$1=\sum_n |n\rangle\langle n|$: $$\begin{align} \delta a(t) &= \sum_n \int d^3\vec x [ \langle 0|j_0(0)|n\rangle\langle n|A|0\rangle e^{-i P\cdot x}-c.c. ] \tag{11-31} \\ &= \sum_n (2\pi)^3 \delta^3(\vec P) [ \langle 0|j_0(0)|n\rangle\langle n|A|0\rangle e^{-i E t}-c.c. ] \end{align}$$ Después de tomar la derivada del tiempo en la Ec. (11-33), que derriba una$E(\vec p)$, concluyen que$\delta^3(\vec p) E(\vec p)$debe ser cero, lo que conduce a estados sin masa.

Sin embargo, si tuviéramos que usar la siguiente relación de completitud,

$$1=\sum_n \int \frac{\text{d}^3 \vec p}{(2\pi)^3 2E(\vec p)} |n,\vec p \rangle\langle n,\vec p, |$$ entonces la energía en el denominador y la energía proveniente de la derivada temporal de la función exponencial se cancelarían y la conclusión de arriba ya no funcionaría porque no hay$E(\vec p)$¡ya no!

---

Edición 1: descubrí que el libro de texto QFT de Ryder (p. 292) y el libro de texto QFT de Nair (p. 246) usan la misma relación de integridad$1=\sum_n |n\rangle\langle n|$, es decir, la prueba sigue las mismas líneas que la de I&Z. Pero, ¿por qué eligen esta relación de completitud?

---

Edición 2: tal vez la respuesta sea tomar la siguiente relación de integridad (fuera de la cáscara):

$$1=\sum_n \int \frac{\text{d}^4 p}{(2\pi)^4} |p \rangle\langle p |$$ ya que esto no daría un$E(\vec p)$en el denominador...?

---

Edición 3: otra referencia que usa$1=\sum_n|n\rangle\langle n|$: enlace arXiv (página 5) y uno que usa$1=\int\frac{d^3 p}{(2\pi)^3}|p\rangle\langle p|$: enlace arxiv (página 19).

---

Edición 4: Encontré una referencia (advertencia, tamaño de archivo PDF grande) que usa la relación de integridad$1=\sum_n \int \frac{\text{d}^3 p}{(2\pi)^3} |\vec p \rangle\langle \vec p |$en la ec. (3.2) también (¡Gracias a @ChiralAnomaly por señalar esto!).