El vacío de Higgs

La "Teoría cuántica de campos" de Srednicki, cuya copia electrónica está disponible gratuitamente aquí , parece afirmar en la página 205 que los estados eq. (32.3) que difieren por un factor de fase que puede variar entre [0,2 π ) son mutuamente ortogonales. Pero si el espacio de Hilbert subyacente es separable, esto no parece posible. ¿Quién me puede iluminar?

¿Podría explicar un poco más por qué cree que los estados de vacío mutuamente ortogonales no son compatibles con que el espacio de Hilbert sea separable?
Este no es el problema, serán ortogonales. Pero en un espacio de Hilbert separable puede haber como máximo un número contable y los puntos en el intervalo [0,2 π ) no son.
Hay dos conceptos diferentes: el espacio de parámetros que define el vacío real (el espacio de módulos) que es tu ( 1 ) , por lo que es continua y no numerable, y se establece el espacio habitual de Fock. Para los estados de Fock, esto es matemática, mientras que, debido a que el espacio de cantidad de movimiento es continuo, yo diría que, naturalmente, el espacio de Hilbert no tiene una base contable...
Hay aspectos de la práctica de QFT (la forma en que los físicos la usan) que nunca han encontrado una formulación matemáticamente rigurosa, me pregunto si este es otro ejemplo.
De alguna manera me perdí la pregunta estrechamente relacionada physics.stackexchange.com/q/56520 donde en las respuestas se hizo referencia a un artículo de Brauner, " arxiv.org/abs/1001.5212 ". Este trabajo indica que para el caso que nos ocupa, el espacio total de Hilbert no es separable (aunque los espacios de Fock construidos sobre los diferentes vacíos sí lo son) y que los diferentes estados de vacío son, de hecho, ortogonales.

Respuestas (2)

Para el beneficio de otros que lean esto, tenga en cuenta que si H es un espacio de Hilbert separable, entonces existe una base ortonormal numerable para H . Nótese que esto no implica inmediatamente que no pueda existir una base no contable para H , pero esto no obstante resulta ser cierto como consecuencia del teorema de la dimensión ;

Dejar V sea ​​un espacio vectorial, entonces dos bases cualesquiera para V tienen la misma cardinalidad.

Consulte también las siguientes publicaciones de math.SE:

  1. https://math.stackexchange.com/questions/232166/showing-the-basis-of-a-hilbert-space-have-the-same-cardinality

  2. https://math.stackexchange.com/questions/450106/uncountable-basis-and-separability

Ahora, para su pregunta. Supongamos que hay un número incontable de vacíos ortogonales | θ ⟩ en el espacio de Hilbert donde θ ∈ [ 0 , 2 π ) , entonces tenemos las siguientes posibilidades

  1. El espacio de Hilbert de la teoría no es separable. En este caso, no hay contradicción.

  2. El espacio de Hilbert de la teoría es separable. En este caso, hay una contradicción y necesitamos una resolución.

Hasta donde yo sé, la mayoría de las axiomatizaciones de QFT asumen que el espacio de Hilbert de la teoría es separable, pero existe una discusión en la literatura sobre cómo relajar esta suposición. Intentaré desenterrar algunas referencias.

Por lo tanto, supongamos separabilidad y busquemos una resolución. La resolución estándar es que al construir el espacio de Hilbert de la teoría, uno elige solo uno de estos vacíos (físicamente equivalentes) para que sea el vacío del espacio de Hilbert, luego uno construye el resto del espacio físico de Hilbert alrededor de este vacío. El resto de los vacíos no son elementos del espacio de Hilbert de la teoría.

Hay otra perspectiva sobre esto que es interesante. Supongamos que hay un espacio de Hilbert no separable más grande H b i gramo que contiene todo el vacua | θ ⟩ y que es una suma directa ortogonal de todos los espacios de Hilbert H θ que podría haber sido generado a partir de cada uno de los posibles vacíos y utilizado como el espacio físico de Hilbert de la teoría.

H b i gramo = ⨁ θ ∈ [ 0 , 2 π ) H θ
Luego vemos cada uno de los espacios de Hilbert H θ como un sector de superselección del espacio de Hilbert más grande H b i gramo . En este caso, si el sistema físico ocupa un estado | ψ ⟩ en un sector de superselección dado H θ , entonces el estado del sistema permanecerá en el sector todo el tiempo bajo la evolución hamiltoniana, por lo que también podemos ver "el" espacio de Hilbert del sistema simplemente como el sector de superselección en el que comenzó. En cierto sentido, esto es esencialmente lo mismo que haber elegido originalmente un vacío sobre el cual construir el espacio de Hilbert porque los diferentes sectores de superselección no "hablan" entre sí.

La siguiente publicación de physics.SE es útil para comprender los sectores de superselección:

¿Qué son realmente los sectores de superselección y para qué sirven?

También encontré que la siguiente página de nLab sobre la teoría de la superselección es esclarecedora:

http://ncatlab.org/nlab/show/superselection+theory

1) Los axiomas de Wightman exigen que el espacio de Hilbert sea separable. Pero vea la sección sobre espacios separables en Wikipedia (espacio de Hilbert). 2) Entiendo tu elegante argumento sobre H_big. En el caso separable, los |theta> no son linealmente independientes y hay algo de "conteo múltiple". 3) Al escribir el Lagrangiano de Higgs, ¿qué se supone sobre el espacio de Hilbert subyacente? Nunca encontré esto explícitamente mencionado. Convencionalmente sería separable. Sería bueno ver una discusión a fondo de este asunto.
@Urgje 1) Sí, eso es lo que exigen los axiomas de Wightman; eso no significa que no haya otro conjunto de axiomas (quizás sin descubrir) que no asuma esto. 2) No estoy diciendo que el | θ ⟩ no son linealmente independientes. El H b i gramo La construcción asume que cada uno pertenece a un subespacio ortogonal diferente en la suma directa, por lo que son, en particular, linealmente independientes . 3) No creo que actualmente exista una axiomatización suficientemente satisfactoria del modelo estándar de la teoría cuántica de campos para que exista una discusión tan exhaustiva, pero puedo estar equivocado.
1) De hecho, estos axiomas también requieren que el estado de vacío sea único y parece que este no es siempre el caso. 2) Punto tomado. De esta forma se evita el problema de la dimensionalidad. Sin embargo, si el espacio de Hilbert es separable, entonces hay una base contable y todos los |theta> pueden expresarse en términos de ellos. Entonces parece que la integral directa H_grande puede ser reemplazada por una suma directa infinita. 3) Esto es realmente una lástima. Una discusión sobre el modelo aislado de Higgs ya sería esclarecedora.

No estoy 100% seguro, pero aquí hay un intento de solución:

1) En primer lugar, no me queda claro por qué el espacio de Hilbert subyacente debe ser separable. ¿Se menciona esto en alguna parte del libro y hay una razón física para este requisito?

2) Sin embargo, supondré aquí que el espacio de estados físicos de Hilbert necesita ser separable. Una posible salida a la contradicción es la siguiente: Hay un número incontable de soluciones que minimizan el potencial pero todas ellas son físicamente equivalentes. Puedes imaginar que estas soluciones viven en algún tipo de espacio si quieres, pero este no es el espacio de estados físicos de Hilbert. De estas soluciones, arbitrariamente elegimos una y la definimos como el verdadero vacío (físico). Pero cualquier elección es físicamente equivalente y todas conducen al mismo (único) estado físico.

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