Simulación del módulo de aterrizaje Philae desactivada por un factor de ~3

Estoy tratando de simular el aterrizaje de Philae escribiendo un programa para calcular la posición del módulo de aterrizaje frente al tiempo. Según varios sitios web de la misión, el orbitador hará coincidir su órbita con la rotación del cometa, luego se moverá hacia el cometa para impartir una velocidad inicial en el módulo de aterrizaje cuando lo libere. El módulo de aterrizaje "caerá libremente" hacia el cometa, aterrizando aproximadamente 7 horas más tarde a una velocidad no superior a 1,0 m/s.

Mi simulación asumirá una trayectoria en línea recta desde el orbitador hasta el cometa.

Reuní algunas cifras de los sitios web de la misión:

Masa del cometa (M C ): 1,0 x 10 13 kg (Wikipedia)
Masa del módulo de aterrizaje (M L ): 100 kg ( ESA )
Diámetro medio del cometa: 4 km (Wikipedia)
Velocidad inicial del módulo de aterrizaje (v 0 ): 0,187 m /s ( Blog de la ESA )
Altura de lanzamiento: 22,5 km ( Blog de la ESA )

No puedo usar una aceleración gravitacional constante porque la atracción gravitacional aumentará a medida que el módulo de aterrizaje se acerque al cometa. Así que (con la ayuda de un profesor de física) derivé las siguientes fórmulas. Dado que las fuerzas cambiarán a medida que avance la simulación, utilizamos un conjunto iterativo de fórmulas en las que el siguiente conjunto de valores se calcula a partir del conjunto anterior. En el siguiente, norte es la iteración actual y norte − 1 es la iteración anterior.

a norte = GRAMO METRO C r 2

v norte = v norte − 1 + a norte − 1 Δ t

r norte = r norte − 1 − v norte − 1 Δ t − 1 2 a norte − 1 Δ t 2

(Los signos se eligen de modo que a norte , v norte y r norte son cantidades no negativas.) Podemos establecer una tabla de valores calculados, usando Δ t = 60 segundos:

| n | a         | v        | r        |
----------------------------------------
| 0 | 1.1112E-6 | 0.187    | 24500.0  |
| 1 | 1.1122E-6 | 0.18706  | 24488.78 |
| 2 | 1.1132E-6 | 0.18713  | 24477.55 |
etc...

Como puede ver, la velocidad y la aceleración aumentan y el radio (altura) disminuye. Eso es bueno.

Detengo la simulación cuando r cae por debajo de los 2000 metros (el radio medio del cometa).

El problema es que la simulación predice que el descenso tardará unas 21 horas. El descenso real tomará ~7 horas. Estoy fuera por un factor de 3.

Traté de cambiar Δ t a 1 segundo, pero los números no cambian mucho.

¿Funcionarán estas fórmulas para la simulación? ¿Y estoy usando los valores iniciales correctos?

Hola Barry. He convertido sus ecuaciones a MathJax y corregido un error tipográfico en la ecuación para v norte . Espero no haber cometido ningún error, pero valdría la pena echarle un vistazo para comprobar que todo está como pretendes.
Creo que tu velocidad inicial de 0,187 m/s es incorrecta. Si interpreto el blog correctamente, esta es la velocidad de separación , es decir, la velocidad relativa del módulo de aterrizaje y el orbitador, no la velocidad relativa al cometa (porque el orbitador se mueve en relación con el cometa).
Reproduje tu cálculo, y con v 0 = 0,187 m/s, predice que la velocidad del impacto será de alrededor de 0,56 m/s. Sin embargo, la velocidad del impacto es aparentemente un poco menos de 1 m/s . Esto refuerza mi sospecha de que la velocidad inicial es incorrecta. Una velocidad inicial de 0,7 m/s da un tiempo de viaje de unas 7 horas y una velocidad de impacto de unos 0,87 m/s, lo que se ajusta a los datos que nos dan.
¡Ajá! Según Universe Today, la velocidad inicial del módulo de aterrizaje es de 2,5 km/hora. Convertir esto a m/s da... pausa para redoble de tambor... una velocidad inicial de 0,7 m/s. Entonces su cálculo está bien, solo está usando las condiciones iniciales incorrectas.
Esta pregunta no debería haberse cerrado. Esta es una pregunta parecida a una tarea, y el OP ha mostrado bastante esfuerzo. Ha habido una serie de preguntas no cerradas similares a tareas en las que la persona que hace la pregunta ha mostrado un esfuerzo considerablemente menor que el mostrado en esta pregunta. Estoy votando para reabrir.
Philae fue lanzado directamente hacia el cometa con una velocidad inicial de unos 0,5 metros por segundo. Ignorando la diminuta gravitación del cometa, una velocidad de 0,5 m/s cerraría la brecha de ~18 km entre el punto de liberación y la superficie del cometa en diez horas.
Error tipográfico obvio en su tercera ecuación: R norte = r norte − 1 − v norte − 1 Δ t ... Estoy seguro de que eso no es lo que implementó, por lo que el problema más probable es la velocidad inicial como se indica en otros comentarios. Tenga en cuenta que el ( Δ t ) 2 El término se desvanece con pequeños pasos de tiempo, y en su lugar querrías usar Δ r = 0.5 ∗ ( v norte + v norte − 1 ) Δ t ) .
Tenga en cuenta que está utilizando el peor esquema de integración posible para este problema. Es posible que desee probar más corto Δ t 's o pruebe un esquema de integración de Verlet (o algún otro esquema de integración simpléctica ).
Gracias @JohnRennie por encontrar la velocidad inicial que debería usar. Siendo analfabeto en LaTeX, escribí todo el HTML a mano y me equivoqué en un par de lugares; gracias por arreglar esos. Perdón por publicar esto en el sitio SE equivocado. Con tantos para elegir, es difícil seleccionar el correcto. ¿Es este un problema de física, un problema de física computacional o un problema de programación? Difícil de decir.
@KyleKanos: este es en realidad un sistema bastante suave porque las aceleraciones son bajas, por lo que el enfoque simple que usó Barry probablemente no sea tan malo. En general, por supuesto, estoy de acuerdo contigo.
Ejecuté el programa con 0,7 m/s como velocidad inicial y obtuve un aterrizaje en 8,27 horas a 1,04 m/s, mejor que las 21 horas anteriores. ¿Suficientemente cerca?
@DavidHammen hay dos requisitos para que una pregunta no se haya cerrado: tiene que mostrar esfuerzo y tiene que hacer una pregunta de física específica. Esto solo pregunta "¿dónde me equivoqué?" que no es una pregunta específica de física, por lo tanto, debería haberse cerrado.
¿Cuál es el lugar apropiado para hacer tales preguntas, dado que no sé cuál es exactamente el problema?
@BarryBrown: preguntar aquí es un primer paso razonable. Como ha visto, su pregunta se volvió a abrir, por lo que al menos cinco de nosotros pensamos que es una buena pregunta para este sitio :-). Hay un intercambio de pila de ciencia computacional en versión beta, y probablemente podrán discutir los detalles de cómo hacer el análisis con más detalle. Sin embargo, a menos que esté realmente interesado en los detalles finos de los cálculos orbitales, creo que tiene su respuesta.
PD: si puedes calcular cuánto rebotó, a la ESA le encantaría saber de ti :-)
Un poco de buenas noticias: conecté los números para el "rebote": 0,38 m/s a 2000 metros. La simulación funcionó perfectamente. Predijo un tiempo "en vuelo" de 1,75 horas, que coincide con lo informado por telemetría. La altura máxima desde el cometa fue de 550 m.

Respuestas (1)

Como se mencionó en los comentarios, te equivocaste en la velocidad inicial. Tu fuente dice:

Además de esto, la estrategia de separación seleccionada prevé una velocidad de separación fija de aproximadamente 0,187 m/s. Esto impone limitaciones a la capacidad de dirigir Philae hacia el cometa, es decir, restringe el dominio de posibles posiciones y velocidades de Rosetta en el momento de la separación.

Así que este 0,187 m/s no es la velocidad a la que Philae viaja hacia el cometa, sino la velocidad relativa a Rosetta después de la separación.

John Rennie encontró una fuente que menciona la velocidad relativa real entre Philae y 67P en la separación. Traté de encontrar otro yo mismo, preferiblemente uno del sitio de la ESA, sin embargo, no pude encontrar uno, así que asumiré 2   1 / 2   k metro / h es correcto, que es 0,69   metro / s .

Aunque su método debería dar una buena aproximación, es posible calcular es mucho más fácil usando la ecuación de Kepler , sin embargo, la precisión de estos resultados es discutible, ya que la gravedad del cometa está lejos de tener simetría esférica. Para una órbita de Kepler no tenemos suficiente información, a saber, la dirección de las velocidades (componentes radial y lateral). Usted asumió un movimiento vertical completo, sin embargo, creo que sería más probable que al aterrizar, la velocidad lateral coincidiera con la de la superficie. Para ello es necesario conocer la posición del lugar de aterrizaje y la velocidad y dirección de rotación del cometa. El sitio de aterrizaje está ubicado en la "cabeza" del más pequeño de los dos lóbulos del cometa, también llamado sitio J y luego dopado Agilkia :

ingrese la descripción de la imagen aquí

No pude encontrar la altitud real en relación con el centro de gravedad del cometa, por lo que habrá que estimarla. Para esto usaré este video que muestra el centro del cometa y la siguiente imagen para obtener la escala:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Mi mejor estimación de estas dos fuentes da una altitud de unos 2,8 km. Este lugar de aterrizaje está bastante cerca del ecuador, por lo que la velocidad superficial sería simplemente la altitud por la velocidad angular. La velocidad angular se puede calcular a partir del período de rotación de 12,4043 ± 0,0007 horas y, por lo tanto, la velocidad superficial sería igual a aproximadamente 0.39   metro / s . De esto también se puede deducir que el momento angular específico , h , sería igual a 1.1 × 10 3   metro 2 / s . Para que quede claro, la altura de liberación mencionada se mide desde el centro del cometa. La combinación de estas propiedades produce una excentricidad orbital de 1,46 y un semieje mayorde -1,6 km. La velocidad de impacto calculada a partir de estos elementos orbitales sería de 0,86 m/s (solo el componente de velocidad orbital radial, ya que se eligió que el componente lateral fuera cero en relación con la superficie). El tiempo entre la separación y el impacto sería de unos 27000 segundos o unas 7,4 horas. Si usara un descenso puramente vertical, tardaría 7,3 horas. Estos resultados están mucho más cerca de las 7 horas reales (no estoy seguro de qué tan exacto es este número). Al considerar que el cometa está lejos de ser esférico y que la velocidad de liberación también podría estar cerca de 2,4 o 2,6 km/h, lo que ya cambia en el tiempo de viaje a 7,7 o 7,2 horas respectivamente, creo que esta es una buena aproximación razonable.

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