Significado físico del tensor de Einstein

¿Entiendes los campos de Jacobi (es decir, la desviación geodésica)? Probablemente son la forma más fácil de explicar qué significan los tensores de curvatura. Digamos que tengo una geodésica$\gamma$y su vector tangente es$\xi$. Luego, usando el tensor de Riemann, puedo definir un operador

$$M^a{}_b \equiv R^a{}_{cbd} \, \xi^c \xi^d$$

que describe el comportamiento de los vectores que se transportan a lo largo$\gamma$a través del mapa$\zeta^a \to M^a{}_b \, \zeta^b$. Si bajamos su primer índice, entonces podemos ver que$M_{ab} \equiv R_{acbd} \, \xi^c \xi^d$es una matriz simétrica , lo que significa que las deformaciones que describe distorsionarán la esfera transversal$S^{n-1}_\bot$, definida por el conjunto de vectores$\{ \zeta^a : g_{ab} \zeta^a \xi^b = 0, \; g_{ab} \zeta^a \zeta^b = 1 \}$, en un elipsoide a medida que uno se mueve a lo largo$\gamma$. Entonces, eso es lo que describe el tensor de Riemann: cómo la esfera transversal$S^{n-1}_\bot$(ortogonal a nuestra dirección de viaje) se distorsiona en un elipsoide a medida que nos movemos a lo largo de una geodésica.

Ahora, el tensor de Ricci viene dado por la traza$R_{cd} = R^a{}_{cad}$, por lo que si miramos a lo largo de la misma geodésica, nuestro tensor de Ricci solo nos da la traza de la matriz$M^a{}_b$:

$$R_{cd} \, \xi^c \xi^d = M^a{}_a,$$

y la traza de la deformación elipsoidal infinitesimal nos da el cambio de área (multiplicado por alguna constante) de$S^{n-1}_\bot$a medida que avanzamos$\gamma$. En cierto sentido, los cambios específicos en la forma de$S^{n-1}_\bot$se han promediado, y uno se queda solo con el cambio en el tamaño total.

Para obtener el escalar de Ricci, entonces tomamos la traza de$R_{cd}$, lo que significa que promediamos en todas las direcciones$\xi^a$para posibles geodésicas que emanan de un punto dado. En cada dirección dada, el tensor de Ricci mide el cambio en el área de$S^{n-1}_\bot$a lo largo de esa geodésica; por lo tanto, el escalar de Ricci debe medir el cambio total en el área de un$S^n$centrado en nuestro punto. Es decir, el escalar de Ricci da el ángulo sólido del déficit (nuevamente multiplicado por alguna constante).

Ahora bien, dado que no hemos resuelto exactamente cuáles son las constantes que se relacionan$R_{cd} \, \xi^c \xi^d$y$R$a los cambios reales en el área, es difícil proporcionar una noción precisa de lo que$G_{ab}$medio. Pero podemos dar una idea general: La parte tensorial de Ricci de

$$G_{ab} \, \xi^a \xi^b \equiv R_{ab} \, \xi^a \xi^b - \frac12 R g_{ab} \, \xi^a \xi^b$$

está dando el cambio dependiente de la dirección en el área a medida que nos movemos a lo largo de la geodésica$\gamma$, pero luego restamos una cantidad del cambio total en el área. El resultado final es un cambio promediado ; la elección particular del promedio se hace de tal manera que

$$\nabla_a G^{ab} = 0,$$

lo cual es importante para acoplar la curvatura a una corriente conservada como$T_{ab}$.

La respuesta corta es que la ley del campo gravitacional

$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = - \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu\nu} (= G_{\mu\nu})$$

es el equivalente de la teoría newtoniana del campo gravitacional que es

$$\nabla^2\phi = 4 \pi G \rho$$

y por lo tanto

1. No puede contener coeficientes diferenciales de la$g_{\mu\nu}$más alto que el segundo.
2. Debe ser lineal en estos segundos coeficientes diferenciales.
3. Su divergencia debe desaparecer idénticamente.

El$R_{\mu\nu}$es la contracción de la$R^\sigma_{\mu\nu\tau}$(por$\sigma$y$\tau$) - el tensor de Riemann, que puede decirle cuánto cambiará un vector si se mueve por desplazamiento paralelo a lo largo de una geodésica (se mueve a lo largo de la curva desde el punto A hasta el punto B).

$R^\sigma_{\mu\nu\tau}$se obtiene de la siguiente manera

$$\Delta A^\mu = - \oint\Gamma^\mu_{\alpha\beta}A^\alpha dx_\beta$$

que [ecuación del desplazamiento paralelo de un vector], con suficiente precisión, se transforma algebraicamente para ser

$$2 \Delta A^\mu = - R^\mu_{\sigma\alpha\beta}A^\sigma f^{\alpha\beta}$$

dónde$f^{\alpha\beta}$está formado por integral a lo largo de la curva de$\xi^\mu = (x_\mu)_B - (x_\mu)_A$

$$f^{\alpha\beta} = \frac{1}{2} \oint(\xi^\alpha d \xi^\beta - \xi^\beta d \xi^\alpha)$$ con $R^\sigma_{\mu\nu\tau}$ser

$$R^\sigma_{\mu\nu\tau} = - \frac{\partial \Gamma^\sigma_{\mu\nu}}{\partial x_\tau} + \frac{\partial \Gamma^\sigma_{\nu\tau}}{\partial x_\nu} + \Gamma^\sigma_{\rho\nu}\Gamma^\rho_{\mu\tau} - \Gamma^\sigma_{\rho\tau}\Gamma^\rho_{\mu\nu}$$

El escalar R se forma a partir de$g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$.

Las ecuaciones de campo (también conocidas como la ley del campo gravitatorio) proporcionan el principio energético de la materia.

$$0 = \frac{\partial\mathfrak{W}^\alpha_\sigma}{\partial x_\alpha} - \Gamma^\alpha_{\sigma\beta} \mathfrak{W}^\beta_\alpha$$ $$\mathfrak{W}^\alpha_\sigma = T_{\sigma\tau}g^{\tau\alpha}\sqrt{-g}$$

que prácticamente dice que

el campo gravitacional transfiere energía y cantidad de movimiento a la materia

El segundo término ($\Gamma^\alpha_{\sigma\beta} \mathfrak{W}^\beta_\alpha$) es la densidad de energía del campo gravitacional mientras que la primera ($\frac{\partial\mathfrak{W}^\alpha_\sigma}{\partial x_\alpha}$) expresa la densidad de energía de la materia.

Como aplicación, podemos tratar de aproximar el movimiento de N singularidades de cuerpo, cada una ubicada en la posición$\overset{k}{\xi}$, cada uno rodeado por una superficie cerrada :

$$\int^k{(\Phi_{\mu\nu} + 2\Lambda_{\mu\nu}) n_{k}dS} = 0$$

Definimos$g_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} + \eta_{\mu\nu}$con$\gamma_{\mu\nu} = h_{\mu\nu} - \eta_{\mu\nu}\eta^{\sigma\rho}h_{\sigma\rho}$.
Además, deja$\tau = x^0 \lambda$con$\lambda$siendo el parámetro de aproximación obtenido al desarrollar nuestro$x^0$en series de potencias (como suma de potencias de$\lambda$).
La distancia desde la k-ésima singularidad hasta$x^s$es$\overset{k}{r} = \sqrt{ \left[ (x^s - \overset{k}{\xi^s})(x^s - \overset{k}{\xi^s}) \right] }$.

Las ecuaciones de campo para nuestro sistema son

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R$$

donde tenemos las combinaciones lineales de$R_{\mu\nu}$(Si consideramos$\eta_{\mu\nu} >> h_{\mu\nu}$):

$$\Phi_{\mu\nu} + 2 \Lambda_{\mu\nu} = -2(R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}\eta_{\mu\nu}\eta^{\alpha\beta}R_{\alpha\beta} )$$

Para cada superficie cerrada tenemos:

$$\underset{2l}{\overset{k}{c_m}}(\tau) = \frac{1}{4 \pi} \int^{k}{ 2 \underset{2l}{\Lambda_{mn}} n_k dS}$$

Así que para todos los N cuerpos escribiremos

$$\underset{2l}{\gamma_{mn,n}} = -\sum_{k=1}^{p} \left\{ \underset{2l}{\overset{k}{c_m}}(\tau) / \overset{k}{r} \right\}$$

Nota la$G_{\mu\nu}$

satisface la identidad de Bianchi

$$G^\mu_{\nu|\mu} + \Gamma^{\alpha}_{\alpha\beta}G_{\nu}^{\beta} - \Gamma^{\beta}_{\nu\alpha} G_{\beta}^{\alpha} = 0$$

Referencias (y citas):

1. El significado de la relatividad - A.Einstein
2. Ecuaciones gravitacionales y problema de movimiento - A.Einstein, L. Infield, B. Hoffmann
3. Sobre el movimiento de las partículas en la teoría de la relatividad general - A.Einstein, L. Infield

Surge como la variación de la acción de Einstein-Hilbert

S = ∫ (1/2κ) R √|g| d⁴x

con respecto a la métrica inversa

δS = ∫ (1/2κ) G_μν δg^μν √|g| d⁴x

En cuanto a qué otro significado geométrico tiene el tensor, además de su aplicación aquí y a las ecuaciones de campo de Einstein: tanto él como sus generalizaciones que incluyen el coeficiente cosmológico, se utilizan para definir las variedades de Einstein. Estas son variedades en las que el tensor de Ricci tiene una relación fija con el tensor métrico.

Un par de notas sobre el coeficiente de acoplamiento κ están en orden aquí, para corregir un error generalizado que veo que se repite en algunas de las respuestas aquí.

Hasta potencias de la velocidad de la luz, c, el factor 8π en la expresión κ = 8πG es específico solo de 4 dimensiones y está relacionado con el 4π que aparece en la fórmula del área de superficie de una unidad 2-esfera y el 4π/3 para el volumen de la 2-esfera sólida. Para n > 3 dimensiones se generaliza a (n-1)(n-2)V/(n-3), donde V = √(πⁿ⁻¹)/((n-1)/2)! es el volumen de la esfera sólida (n-2), donde la convención (-1/2)! = √π se utiliza.

Segundo, las potencias de c salen directamente de la fórmula de acción por análisis dimensional. Usando M, L y T respectivamente para denotar dimensiones de masa, longitud y tiempo, las dimensiones están dadas, para espacios-tiempos n-dimensionales, por

[S] = ML²/T = [h]
[R] = 1/L²,
[√|g| dⁿx] = Lⁿ,
[G'] = Lⁿ⁻¹/(MT²) = la versión n-dimensional de la constante G de Newton,
[c] = L/T,

donde h es la constante de Planck. Por lo tanto,

[hκ] = [∫ R √|g| dⁿx] = Lⁿ⁻² = [hG'/c³]

las dimensiones del área de Planck n-2 para espacios-tiempos n-dimensionales... o (para n = 4) el área de Planck. Por lo tanto,

[κ] = [G'/c³], no [G'/c⁴]

y la expresión correcta de κ para dimensiones n > 3 es

κ = (n-1)(n-2)/(n-3) √(πⁿ⁻¹)/((n-1)/2)! G'/c³

que para el caso n = 4 (y G' = G) se reduce a

κ = 8nG/c³.

La literatura está intercalada con potencias 2, 3 y 4 (por ejemplo, Einstein usó 2 en El significado de la relatividad), la expresión κ = 8nG/c⁴ proviene de un análisis dimensional defectuoso que no logra distinguir correctamente los tensores de las densidades de tensores (por ejemplo, el la densidad de masa ρ y la presión p son componentes de la densidad del tensor de tensión, no del tensor de tensión) y/o para tener en cuenta correctamente las dimensiones del propio tensor de tensión.

Esto se analiza con más detalle en un hilo reciente en sci.physics.research, el foro estándar para preguntas relacionadas con la física.

El tema del factor numérico también es discutido aquí por Mansouri et al.: https://arxiv.org/abs/gr-qc/9609061