Significado físico del momento angular

Lo entiendo físicamente como el impulso de un objeto que gira alrededor de algo dada una posición determinada. Sin embargo, no puedo dar una explicación física a la fórmula. ¿Por qué multiplicamos el momento lineal por la posición? ¿Por qué el momento angular es una función de la posición?

1) - Momento angular ($L = rmv$)

Es muy sencillo: en la otra pregunta has entendido el concepto de momento lineal , ahora solo tienes que unirlo al concepto de palanca .

Imagina que la bola B es la misma bola que estaba en la pregunta del momento lineal.$(m = 2 Kg)$que viajaba a una velocidad de tres metros por segundo y tenía un impulso de seis kilogramos metros por segundo

Podemos pensar que tiene una línea en la dirección en la que se mueve y un gancho colgando. Este gancho queda atrapado por una clavija$F$. ¿Lo que sucederá?$B$comenzará a girar alrededor del punto de apoyo$F$(boceto a la izquierda). La dirección del movimiento será perpendicular al radio (línea), por lo tanto, el ángulo será$90°$, y es$\sin$estarán$1$.

Considere otro escenario (boceto a la derecha; igual que en una palanca ) el torque ejercido depende también del radio, la distancia del cuerpo desde el punto de apoyo que es el brazo de la palanca. La magnitud del par depende del valor de$r$. un peso de$6 kg$ejercerá un par de$12$ $Nm$a la distancia de$2$ $m$, y tendrás equilibrio solo si pones (en el otro brazo) un peso de$6 Kg$a$2 m$o peso de$12$ $Kg$a$1 m$.

Si comprende el concepto de la palanca, puede comprender fácilmente la explicación física de la fórmula del momento angular . De la misma manera, si B ($m = 2$) está girando en sentido antihorario en$v$=$3 m/s$(lineal$momentum$=$6$) a distancia$2 m$desde el fulcro tendrá un momento angular (6 * 2 =) 12 Kg * m ² /s). Si la línea que cuelga de B hubiera sido sólo$1 m$de largo, la magnitud de$L$hubiera sido (6 * 1) = 6.

Asimismo, si otro cuerpo A ($m$=$2$,$v$=$3$,$p$=$6$) está girando en el sentido de las agujas del reloj en el otro brazo, no habrá equilibrio, aunque la masa, la velocidad y el momento lineal sean los mismos; Lo mismo ocurriría si una fuerza de$6N$se aplica en$r$=$2m$y otra fuerza opuesta de$6N$se aplica en$r$=$1m$. Tenga en cuenta que B tenía un momento angular con referencia a F incluso antes de que comenzara a girar alrededor de él a lo largo de su trayectoria y siempre fue (p * r) =$12 Kg * m^2/s$.

2) - Definición de L

Un cuerpo B con velocidad (y momento lineal) tiene un momento de rotación potencial L con referencia a/alrededor de cualquier punto/cuerpo O que no se encuentra en su trayectoria.

La magnitud de L se puede encontrar multiplicando su momento lineal (p = m*v) por la distancia del punto O a la trayectoria:$r$.

En la fórmula completa:$L = m * [v * sinλ * d]$, L se obtiene multiplicando la masa por la velocidad tangencial $V_t = v * sinλ$veces la distancia$d$, pero$d * sinλ$siempre es igual a$r$

3) - Conservación del momento angular

El momento angular L se conserva si no se ejerce un par externo sobre el sistema y esta propiedad le ayuda a comprender la importancia del radio. Cuando el cuerpo B está unido a O por una línea/varilla o por una fuerza sin contacto (como g), comienza a girar alrededor de él y adquiere un momento de rotación real L.

Si, mientras gira alrededor de O, B impacta con una bola similar A ($m$=2,$v$= 0), B se para en seco y A adquiere la misma v/p/E, y potencial L con referencia al punto F, si choca con la lenteja de un péndulo A ($m$= 2,$r$= 2) adquirirá la misma v/p/L/E. Si la línea/vara del péndulo$r_p = k$, p se conservará, pero$L_p$se convertirá$L \times \frac{k}{r}$.

Este es un ejemplo simple en el que el cuerpo se considera una masa puntual que gira sobre la circunferencia, si la masa se distribuye a lo largo del radio, entonces debemos aplicar una fórmula diferente$L = I * \omega$, dónde$ω = v/r$y$I = m *r^2$. P no se conserva, pero KE y L sí, de esta manera podemos calcular el resultado de la colisión. Puede encontrar un ejemplo simple de conservación de L aquí

En última instancia, lo que tiene de especial el momento angular es esto:

• Mira, arriba en el cielo. Cierto conjunto de leyes físicas se refieren a esa dirección.
• Mira hacia el norte. Cierto conjunto de leyes físicas se refieren a esa dirección.
• Mira hacia el oeste. Cierto conjunto de leyes físicas se refieren a esa dirección.

Esas leyes físicas: son las mismas en todas las direcciones. Hay una cantidad conservada subyacente cada vez que encuentras una simetría como esta. Se aplica un concepto similar si realiza un viaje a China, Proxima Centauri, la galaxia de Andrómeda o incluso más. Aquí las leyes de la física son las mismas independientemente de la traducción. ¿Qué pasa con el tiempo? Parpadea y las leyes de la física no cambian. Edad 80 años y las leyes de la física no cambian. Las leyes de la física son atemporales.

La atemporalidad de las leyes de la física significa que la energía es una cantidad conservada. La independencia traslacional de las leyes de la física significa que el momento lineal es una cantidad conservada. Finalmente, la independencia rotacional de las leyes de la física significa que el momento angular es una cantidad conservada. Todas estas son consecuencias del teorema de Noether . Hay una serie de otras cantidades conservadas que resultan del teorema de Noether, y esto resultó ser muy importante para la mecánica cuántica. Obviamente, esto también es fundamental para la mecánica clásica. El teorema de Noether explica exactamente por qué se conservan esas cantidades conservadas.

El momento angular sería un concepto bastante inútil si el momento angular no fuera una cantidad conservada en ausencia de momentos de torsión externos. Es una cantidad conservada gracias a la simetría rotacional del espacio.

¿Por qué el momento angular depende de la posición?

El momento angular siempre se define en relación con un punto de referencia, digamos$\mathbf r_0$, (que es a menudo, pero no necesariamente el origen).

Si el sistema es invariante bajo rotación alrededor de este punto de referencia, la cantidad que llamamos "momento angular con respecto a$\mathbf r_0$" se conserva. (Tenga en cuenta que si solo una rotación alrededor de cierto eje deja el sistema sin cambios, solo se conserva este componente del momento angular).

Entonces, dado que el momento angular depende de un punto de referencia, no es una sorpresa que el momento angular dependa explícitamente de la posición.

¿Cómo funciona esta conservación del momento angular?

La respuesta abstracta trata con el teorema de Noether y el Lagrangiano del sistema que está viendo. Para simplificar, echemos un vistazo a una partícula de un solo punto que se mueve en línea recta.

Tenga en cuenta que incluso una partícula libre que se mueve en línea recta tiene un momento angular distinto de cero con respecto a ciertos puntos de referencia. De hecho, el momento angular es solo cero, si el momento y la conexión entre el punto de referencia son paralelos (es decir, el punto de referencia está en la trayectoria de la partícula).

Teorema de Noether para una partícula libre bajo rotación

Usemos esta partícula libre para ver dónde esta conservación de$\mathbf x\times \mathbf p$viene de. El Lagrangiano es aquí solo la energía cinética. Si rotamos las coordenadas alrededor del origen y a lo largo del eje fijo$\mathbf n$por el ángulo$\varphi$. La energía cinética (la lagrangiana) no debe depender del ángulo de rotación .

Deje que las posiciones rotadas estén dadas por$\mathbf x'$. La energía cinética es$\frac 12 m \dot {\mathbf x'}^2(\varphi)$, entonces nuestra condición de que la energía cinética es independiente de$\varphi$Se puede escribir como:

$$\frac {\mathrm d(m \dot {\mathbf x'}^2(\varphi))}{\mathrm d\varphi}= \mathbf p \frac{\mathrm d \dot {\mathbf x'}(\varphi)}{\mathrm d \varphi} =0 \,,$$

ya que no hay fuerzas actuando sobre la partícula libre ($\dot{\mathbf p}=0$), podemos escribir esto como:

$$\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}\left(\mathbf p \frac{\mathrm d {\mathbf x'}(\varphi)}{\mathrm d \varphi}\right) = 0\,.$$

Cómo$\mathbf x'$cambiar con el ángulo? Echa un vistazo al capítulo sobre rotaciones infinitesimales y deberías encontrar algo como

$$\mathbf x' = \mathbf x + \varphi (\mathbf n \times \mathbf x)$$

Calcular la derivada y reemplazarla en la ecuación anterior conduce a:

$$\frac {d}{dt}\left(\mathbf p\frac {d({\mathbf x + \varphi (\mathbf n \times \mathbf x)})}{d \mathbf \varphi}\right) = \frac {d}{dt}\mathbf p \cdot (\mathbf n \times \mathbf x) = \frac {d}{dt}\mathbf n \cdot (\mathbf x \times \mathbf p)=0$$

Lo cual nos dice, que el$\mathbf n$-componente de$\mathbf x \times \mathbf p$no cambia con el tiempo (es decir, se conserva). En este caso, esto es cierto para ejes arbitrarios, lo que significa que el momento angular$\mathbf L = \mathbf x \times \mathbf p$se conserva

Considere algo como una puerta. Una pieza de madera con una bisagra en un borde. Tal vez tenga un metro de alto y tres metros de largo.

Ahora diga que está tratando de mantener la puerta en su lugar, en la posición a medio metro de la bisagra, mientras alguien más lanza una pelota de béisbol al otro lado de la puerta.

Si la pelota de béisbol golpea la bisagra, no tienes que empujar en absoluto.

Si la pelota de béisbol golpea justo en frente de donde estás empujando la puerta, tienes que empujar una buena cantidad.

Si la pelota de béisbol golpea justo en la marca de tres metros de la puerta lejos de la bisagra, tendrás que empujar mucho más fuerte. (Piense en pellizcar su dedo en una puerta)

Aunque el impulso de la pelota de béisbol fue el mismo en los tres casos, en el primer caso (si$r=0$corresponde a la bisagra) no tuviste que aplicar ningún torque$\cdot$tiempo. En el segundo había que aplicar un pequeño torque$\cdot$tiempo. En el tercero tuviste que aplicar un gran torque$\cdot$tiempo.

Esto se puede expresar, matemáticamente, como la cancelación del momento angular del sistema. Por supuesto, las cosas se vuelven menos intuitivas si no elige la bisagra como su origen, por lo que debe trabajar y hacer algunos cálculos para demostrar que los resultados físicos son los mismos. Realmente, sin embargo, esto es tan intuitivo como que el momento lineal depende del marco de referencia (al ver el sistema en un marco con una velocidad diferente) y, en mi opinión, mucho más intuitivo que la energía que depende de su marco de referencia.

Hay varias formas de describir el movimiento de una partícula. Por ejemplo, en 2 dimensiones, podría usar cartesiano$x,y$coordenadas o polar$r,\varphi$coordenadas

A cada coordenada podemos asociar una 'cantidad de movimiento' o ' momento generalizado '. Si una coordenada dada corresponde a una simetría del sistema, la cantidad correspondiente se conserva por el teorema de Noether .

Debido a que la física funciona de la misma manera 'aquí' que 'allá' (es decir, cambiando$x$o$y$), el momento lineal se conserva. Debido a que la física también funciona de la misma manera sin importar la orientación del sistema (es decir, cambiando$\varphi$), el momento angular también es una cantidad conservada.

Sin embargo, la componente radial no corresponde a una simetría (cambiando la$r$coordenadas da como resultado distorsión), por lo que el momento radial generalmente no se conserva.

Ahora, volviendo a tu pregunta real:

Por quélo hacees el momento angularesuna función de la posición?

Intuitivamente, la posición contribuye al momento angular porque cambiar la coordenada angular dará como resultado "cantidades de movimiento" bastante diferentes dependiendo de la distancia radial desde el origen.

Esta es una respuesta abstracta, pero la encuentro extremadamente útil para el tipo de pregunta de "naturaleza básica" que parece estar buscando a tientas. Piensa en dos cosas: el teorema de Noether y un experimento mental "¿y si hubiéramos evolucionado como seres ciegos pero inteligentes?".

Como en la Respuesta de David Hammen , es el teorema de Noether el que nos diría que si nuestras leyes físicas son invariantes con respecto a las rotaciones de nuestros ejes de coordenadas, entonces aún inferiríamos la existencia de tres cantidades conservadas. Técnicamente, si escribe sus leyes definiendo el camino de acción mínima minimizando un Lagrangiano, el teorema de Noether le dice que siempre hay una cantidad conservada para cada "simetría continua" del Lagrangiano, es decircada transformación que se puede hacer de transformaciones más pequeñas del mismo tipo por adición como números reales (piense en sumar ángulos: dos rotaciones alrededor de un eje suman una rotación y usted suma los ángulos) y aún deja el Lagrangiano sin cambios. De hecho, nuestras leyes son independientes de las rotaciones de los ejes de coordenadas, ya que estas últimas son meramente parte de nuestra descripción de la física, no la física misma. Estas son nociones copernicanas y el teorema de Noether da la fórmula que usted establece para el AM.

Como señala David, es la conservación lo que hace que la AM sea útil, no la idea de que algo gira. Es bueno tener esto en cuenta cuando se pasa al estudio del giro de partículas cuánticas como los electrones. Tendemos a emocionarnos mucho al tratar de imaginar estas cosas girando; de hecho, Wolfgang Pauli inicialmente rechazó rotundamente la idea del giro del electrón porque una pequeña bola tendría que estar girando con su límite muy por encima de la velocidad de la luz para explicar el giro observado de los electrones La noción de "algo girando" tal como lo concebimos intuitivamente no obstaculizaría a nuestros seres ciegos, quienes, sin embargo, deducirían la existencia de AM a través del teorema de Noether: "girar" es una experiencia visual particular que resulta útil para detectar el movimiento de algo contra sus alrededores.Fuerte experiencia visual: es crucial para la supervivencia en nuestro mundo tanto de los animales avistados como depredadores y presas, y somos ambos. Útil para la supervivencia de nuestros antepasados ​​evolutivos, pero no demasiado útil para la física moderna fundamental: hizo tropezar incluso al gran Wolfgang Pauli.

Echa un vistazo al vídeo aquí

Espero que cuando veas al hombre dando vueltas y moviendo las pesas (cambiando$r$) puedes ver eso$r$es importante.

Recuerda$r$es la distancia desde cada parte de un objeto giratorio al eje de rotación (que no es exactamente igual a la posición)

El momento angular es un concepto análogo al momento lineal p = mv, en el que m es la masa del cuerpo yv su velocidad.

Ahora, mira de dónde viene el momento angular. Considere por simplicidad un cuerpo que se mueve en un círculo alrededor de un eje, y sea ω la velocidad angular, es decir, el ángulo por el cual gira el objeto, en una unidad de tiempo. La relación entre la velocidad lineal y angular es

$$v = \omega r. \tag{1}$$

La energía de movimiento del objeto es$E = (1/2)mv^2$, y usando (1),

$$E = \frac{1}{2}mr^2 \omega^2.\tag{2}$$

Entonces, es conveniente definir una cantidad denominada momento de inercia,$I$

$$I = mr^2, \tag{3}$$

y obtenemos una fórmula en la que usamos velocidad angular, no lineal

$$E = \frac{1}{2}I\omega^2.\tag{4}$$

Continuando con el concepto de momento de inercia obtenemos momento angular,$L$

$$L = I\omega,\tag{5}$$

similar con el momento lineal$p = mv$, es decir como$\omega$reemplaza$v$,$I$reemplaza$m$. En esta fórmula sustituyendo$I$de (3),

$$L = mr^2 \omega = mvr.\tag{6}$$

Esta es la respuesta a tu pregunta, por qué multiplicamos por $r$. Pero, lo dicho anteriormente es válido cuando el movimiento es circular. Para un movimiento más general,

$$\vec{L} = m\vec{v} \times \vec{r},\tag{7}$$

dónde$\vec{L}$,$\vec{v}$, y$\vec{r}$son vectores y$\times$indica vector-producto.

Buena suerte

Tal vez puedas verlo de esta manera:

El módulo de una multiplicación vectorial es así:

$$|\mathbf{L}|=|\mathbf{r}\times\mathbf{p}|=rp\sin{\hat{rp}}$$

donde puede ver la característica principal del momento angular: la posición y el momento lineal de la materia considerada deben ser proporcionales a$L$e inversamente relacionados entre sí.

Así garantiza la descripción de fenómenos como la rotación del patinador que baila: cuando los brazos se acercan al cuerpo, la rotación aumenta conservando$\mathbf{L}$.