¿Siempre es posible elegir 2 particiones de un conjunto que cubran el número máximo de pares sin repetir?

Estoy pensando en el problema de dividir un conjunto en subconjuntos de tamaño 2 (es decir, pares) y luego hacerlo repetidamente sin repetir un par que haya ocurrido en una partición anterior. Esto se inspiró en esta pregunta de desbordamiento de pila sobre el emparejamiento de estudiantes en una clase cada semana para que dos estudiantes no trabajen juntos más de una vez, un problema que también se ha abordado aquí en este sitio (directamente [ 1 ] así como con preguntas relacionadas [ 2 , 3 , 4 ]).

Si entiendo correctamente, si estoy particionando un conjunto de tamaño$n$en parejas, siempre es posible elegir$(n - 1)$tales particiones de tal manera que ningún par ocurra dos veces entre ellos, por ejemplo, como en un torneo de todos contra todos . En el ejemplo motivador, dada una clase de$n$estudiantes, esto significaría que cada estudiante trabaja con todos los demás estudiantes exactamente una vez en el transcurso de$n - 1$semanas.

Pero me pregunto sobre un aspecto que no he visto en otra pregunta: supongamos$m < n - 1$Las particiones ya están dadas. El$m$las particiones son completamente arbitrarias excepto que ningún par se repite entre ellas. ¿Es siempre posible elegir$n - 1 - m$particiones adicionales tales que, al considerar juntas las particiones dadas y las adicionales, no se repite ningún par entre ellas? ¿O es posible "atascarse" y no poder elegir suficientes particiones sin repetir un par?

Si puedo intentar una formulación más precisa: (no soy matemático, así que disculpas por cualquier abuso de notación)

• Dejar$S$ser un conjunto de$n$elementos diferenciados, donde$n$incluso

  Ejemplo:$S = \{1,2,3,4,5,6\}$

• Dejar$P$denota una partición de 2 de$S$, es decir, una partición de$S$en subconjuntos de 2 elementos (pares), con cada elemento de$S$ocurriendo en exactamente un par en$P$

  Ejemplos:

  $$\begin{align} P_1 &= \{\{1,2\},\{3,4\},\{5,6\}\} \\ P_2 &= \{\{1,3\},\{2,5\},\{4,6\}\} \\ P_3 &= \{\{1,5\},\{3,4\},\{2,6\}\} \end{align}$$

• Dejar$T$denota un conjunto de 2 particiones de$S$. Para adaptar la terminología de otra pregunta , digamos que$T$es "fresco" si no se repite ningún par entre todas las particiones del conjunto. (Muy parecido a lo que esta otra pregunta denomina "ortogonal").

  Ejemplos:

  $$\begin{align} &\text{Fresh} & &\text{Not Fresh} \\ T_1 &= \{P_1, P_2\} & T_3 &= \{P_1, P_3\} \\ T_2 &= \{P_2, P_3\} & T_4 &= \{P_1, P_2, P_3\} \end{align}$$

• Tomando prestado de otra pregunta , dejemos$w(n, 2)$denote el tamaño del conjunto fresco más grande posible de 2 particiones de$S$. Obviamente$w(n, 2) \leq n - 1$, y yo creo$w(n, 2) = n - 1$para cualquier$n$pero no estoy totalmente seguro. (Por supuesto$w(n, k)$por arbitrario$k > 2$es un problema abierto.)
• Dado un nuevo conjunto de 2 particiones$T$, Nosotros decimos eso$T$esta completo si$\lvert T\rvert = w(n, 2)$, o incompleto si$\lvert T\rvert < w(n, 2)$.

Entonces mi pregunta se reduce a esto: dado cualquier conjunto nuevo incompleto de 2 particiones$T = \{P_1, \ldots, P_m\}$con$m < w(n, 2)$, siempre es posible elegir particiones$P_{m+1},\ldots,P_{w(n,2)}$tal que$\{P_1,\ldots,P_m,P_{m+1},\ldots,P_{w(n,2)}\}$¿Esta completo?

O más sucintamente, ¿ cada conjunto nuevo incompleto es un subconjunto de un conjunto nuevo completo?

Sospecho que la respuesta es afirmativa y que existe una prueba directa, pero estoy un poco agotado y no puedo pensar en eso. Estoy interesado en una demostración intuitiva o en una prueba real, o en ambas.