Si un muón que viaja rápido puede "extender" su vida útil debido a los efectos relativistas, ¿el muón se vería a sí mismo viajando más rápido que la luz?

Sí, viajaría más lejos que$0.99c \times 2.2 \,\mu\text{s}$. viajaría$\beta \gamma c \times \Delta t$por la dilatación del tiempo. Sin embargo, esto no significa que el muón o la bomba vean el entorno moviéndose más rápido que la velocidad de la luz. Esto se debe a que en el marco del muón las distancias se contraen relativistamente. Entonces, si tiene una vara que usa para medir la distancia que ha pasado el muón, entonces el muón ve que esta vara se contrae, de modo que si el muón se descompone al final de la vara, todavía encontraría$\beta = 0.99$.

La dilatación del tiempo va junto con la contracción de la longitud.

Considere un muón que medimos viajando a 50 km cuando "debería" haber viajado solo 600 m. Decimos que viajó 50 km porque tenemos marcos de referencia convencionales que son convenientes para nosotros que dicen que la distancia es de 50 km. Sin embargo, el muón se mueve a una fracción sustancial de la velocidad de la luz en relación con nuestros marcos de referencia, por lo que las longitudes a lo largo de su dirección de viaje se contraen en su propio marco de referencia (en relación con el nuestro).

En el marco de referencia del muón, solo sobrevivió 2,2 microsegundos y viajó 600 m. En nuestro marco de referencia, tanto el tiempo que sobrevivió como la distancia que recorrió son diferentes. ¹ Las ecuaciones de la relatividad nos dicen cómo deben corresponder las medidas de tiempo y longitud tomadas en diferentes marcos de referencia, y funcionan de tal manera que en ningún marco de referencia (sin importar cuán arbitrariamente se construya) la distancia medida dividida por el tiempo medido excede la velocidad de luz.

Cuando preguntas "¿no podría la bomba decir que ha ido más rápido que la luz durante los 2 microsegundos que estuvo viva?" estás mezclando fotogramas. Estás hablando del tiempo medido en el propio marco de referencia del muón/bomba, pero la distancia medida en nuestro marco de referencia (o al menos, uno en el que la bomba se mueve 0,99  c en relación). Si mides el tiempo y la distancia en el marco de la bomba, su velocidad será menor que c , y si mides el tiempo y la distancia en nuestro marco, la velocidad de la bomba será menor que c .

¹ Sin embargo, el punto inicial y final son los mismos en ambos marcos; es la distancia medida entre esos dos puntos lo que es diferente, no si el muón realmente alcanzó o no una posición determinada.

En el marco de la bomba, te alejarías a 0,99  c durante una distancia de (0,99  c * 2,2 microsegundos) antes de que explotara.

Entonces, dado que en su marco te alejaste a 0,99  c de él, sabría que en tu marco se alejó a 0,99  c de ti. En ningún marco, viajaría más rápido que c .

si pongo una bomba a 2,2 microsegundos y la envío a 0,99c, ¿viajará más allá de (0,99c x 2,2 microsegundos)?

Depende del marco de referencia que esté considerando. En el marco del laboratorio, de hecho viajaría más lejos que eso. En su propio marco, permanecería en reposo mientras el laboratorio viajaría a una distancia de 0,99c x 2,2 microsegundos antes de explotar.

En el marco de la bomba, permanece viva durante 2 microsegundos, y dentro de ese período de tiempo, la tierra, el laboratorio, etc. se alejarían de ella a 0,99c. Entonces, no diría que ha ido más rápido que la luz durante los microsegundos que estuvo vivo.

¿Viajaría más allá de (.99c x 2.2 microsegundos)?

Si lo envía a una velocidad, relativa a la Tierra, de 0,99c, entonces el componente espacial de la Tierra (es decir, el componente espacial en el marco de referencia de la Tierra) del desplazamiento entre el envío y la explosión es superior a 0,99c * 2,2 microsegundos.

El componente espacial del desplazamiento de la bomba será cero; en el marco de referencia de la bomba, está estacionario. Verá a la Tierra moviéndose en la dirección opuesta, y la distancia a la que observará el movimiento de la Tierra será de 0,99c * 2,2 microsegundos.

Ahora, esa última declaración es bastante complicada, ya que la distancia que observa que se mueve la Tierra, según las varas de medir de la Tierra, será más de .99c * 2.2 microsegundos. Es decir, si alguien en la Tierra sacara una regla y pusiera marcas de tal manera que las marcas estén, en el marco de referencia de la Tierra, separadas cada una por 1 m, entonces la bomba observará que la regla se mueve a 0,99c, y la marca de verificación siguiente a la bomba cuando explote será mayor que el número de metros que da el cálculo .99c * 2.2 microsegundos (es decir, .99c * 2.2 microsegundos = 650 m, pero la bomba verá pasar más de 650 marcas). Esto se debe a que en el marco de referencia de la bomba, la regla viaja a una velocidad cercana a la de la luz y, por lo tanto, se contrae, por lo que las marcas están a menos de 1 m de distancia entre sí.