Si puedo oír a Bob, ¿puede Bob oírme? (AKA, ¿por qué la función de Green para la propagación del sonido tiene que ser simétrica?)

Supongamos que estoy en la ubicación X, emitiendo un sonido a cierto nivel de volumen. Bob, parado en la ubicación Y, escucha el sonido con una intensidad reducida por X base de datos Si Bob empieza a emitir sonido, ¿lo oiré yo también con una intensidad reducida exactamente X base de datos (En general, puede haber alguna configuración general de puertas/paredes entre Bob y yo, no simétrica entre nosotros dos. Estas barreras pueden absorber algo de energía sonora, así como reflejar, refractar y/o difractar las ondas sonoras).

Ahora bien, a nivel técnico se puede argumentar que la respuesta es sí; por ejemplo, la propagación de ondas de sonido a alguna frecuencia debería describirse mediante la ecuación de Helmholtz

( ∇ 2 + k ( X ) 2 ) φ = 0 ,
dónde k ( X ) es la longitud de onda inversa (posiblemente dependiente espacialmente) del sonido en la ubicación X . (También podemos hacer k ( X ) complejo para incluir la posibilidad de disipación). La intensidad del sonido en la ubicación. y emitido desde la posición X es entonces descrito por la función de Green GRAMO ( X , y ) de la ecuación de Helmholtz, que se puede demostrar que es simétrica.

Sin embargo, este argumento parece demasiado técnico y en realidad no responde a la pregunta básica de por qué la propagación de las ondas sonoras tiene que ser descrita por una PDE con función de Green simétrica. ¿Hay escenarios exóticos donde esta propiedad de simetría no se cumple? ¿Depende de alguna de las aproximaciones realizadas al derivar la ecuación de Helmholtz? ¿O hay algún argumento físico básico de por qué la propiedad de simetría debe ser cierta?

Para anticipar una posible respuesta, no creo que esto tenga nada que ver con la simetría de inversión del tiempo. Por un lado, la simetría de inversión del tiempo no se cumple en presencia de absorción. Y en cualquier caso, el tiempo inverso de Bob emitiendo un sonido es un montón de ondas de sonido que convergen en Bob, no yo emitiendo un sonido.

Las soluciones de la función de Green deben tener en cuenta las condiciones de contorno, lo que fácilmente podría romper la simetría. Si usted y un amigo se sientan en una habitación con una ventana abierta, puede escuchar las conversaciones de las personas afuera mejor de lo que ellos pueden escuchar las suyas.
@ J.Murray No pretendo haber probado este experimento, pero tengo dudas. En ausencia de, digamos, corrientes de viento que lleven sonido a la habitación, parece que todavía está calculando la función de Green de un operador autoadjunto, y esto debería ser simétrico, ¿no? Después de todo, las condiciones de contorno siguen siendo simétricas entre los dos casos.
Vale la pena señalar que el ruido de fondo hace que la noción básica "si A puede escuchar a B, entonces B puede escuchar a A" sea falsa en la práctica. Pero esto es una cuestión de relación señal-ruido, no algo sobre la propagación del sonido.
@J.Murray En mi comentario anterior, para evitar confusiones, debería haber dicho que las condiciones de contorno son las mismas en ambos casos en lugar de "simétricas entre los dos casos", lo cual es algo ambiguo.
La calibración del micrófono y la medición del nivel de sonido se basan en la relación de reciprocidad que le permite invertir la ubicación de la fuente y el micrófono y obtener el mismo resultado. Conozco a un físico que desarrolló métodos para medir el ruido de la carretera, pero esto es todo lo que recuerdo de los detalles.

Respuestas (3)

Estoy de acuerdo con J. Murray en que las condiciones de contorno deben tenerse en cuenta de una forma u otra. Aquí está el por qué. Llamar ϕ A el campo cuando Alice está hablando, es decir, cuando hay una fuente de Dirac d A colocado en A . Del mismo modo definir ϕ B . Entonces,

( ∇ 2 + k 2 ) ϕ A = d A , ( ∇ 2 + k 2 ) ϕ B = d B .
Ahora multiplica la primera ecuación por ϕ B , segundo por ϕ A , integre por partes (usando el teorema de la divergencia) y tome la diferencia para obtener
∫ ∂ Ω ( ϕ A ∇ ϕ B − ϕ B ∇ ϕ A ) ⋅ norte d S = ϕ A ( B ) − ϕ B ( A ) .
Esto a veces se llama teorema recíproco de Maxwell-Rayleigh-Betti (o cualquier subconjunto del mismo). Cuando las condiciones de contorno son tales que lhs es cero, obtenemos que ϕ A ( B ) = ϕ B ( A ) ; o en tus términos, que la función de Green es simétrica. Esto ocurre para algunas condiciones de contorno estándar (digamos ∇ ϕ ≡ 0 en el límite ∂ Ω ) pero no está garantizado por lo que puedo decir.

Se hicieron varias suposiciones. Linealidad para uno. Además, en lugar de simetría de inversión de tiempo, se asumió la "invariancia de tiempo": de alguna manera, el medio y los límites son estacionarios. Con fronteras móviles, las cosas serán diferentes y la reciprocidad fallará. Estas suposiciones a veces se reagrupan bajo la abreviatura "LTI" para Linear Time Invariant. También puede consultar el principio de Onsager Casimir para obtener más detalles.

Pero ningún material es completamente impermeable al sonido. Así que me parece que las únicas condiciones de contorno físico son aquellas en el infinito, y luego el LHS llega a cero.
En realidad, pensándolo bien, el LHS manifiestamente no va a cero en el infinito: ϕ A y ϕ B se espera que cada uno caiga como 1 / r , y estás integrando sobre una superficie de área r 2 . Entonces parece que se puede violar la simetría.
En tercer lugar, creo que podrías envolver tu sistema en un medio absorbente lejano (representado por un complejo k 2 ) -- esto no debería cambiar la función de Green cerca, pero aseguraría que ϕ A y ϕ B decae lo suficientemente rápido en el infinito para asegurar que el LHS llegue a cero. Así que todavía no estoy convencido de que se pueda violar la simetría en ninguna situación física.
El espacio vacío es impermeable al sonido y muchos materiales también son "exponencialmente" impermeables al sonido en frecuencias específicas. De modo que la cuestión de la descomposición en el infinito parece verdaderamente delicada y no me aventuraré en ella. Además, cambiar las condiciones de contorno sin importar cuán lejos puede cambiar la función de Green significativamente en todas partes: compare una esfera sólida gigante excitada en su frecuencia de resonancia y todo el espacio excitado en la misma frecuencia.

Las condiciones de contorno son muy importantes. Por ejemplo, la acústica de los anfiteatros antiguos, el Epdidaurus , donde en la fila superior se puede escuchar un papel rasgado (lo probé en la excursión cuando estuvimos allí como estudiantes). Nadie en el escenario podía escuchar un papel rasgado en la fila superior (incluso en un día sin viento).

El teatro es admirado por su acústica excepcional, que permite una inteligibilidad casi perfecta de las palabras habladas sin amplificar desde el proscenio o skēnē a los 14.000 espectadores, independientemente de su asiento (ver Ref., en griego). Famosamente, los guías turísticos tienen sus grupos dispersos en las gradas y les muestran cómo pueden escuchar fácilmente el sonido de un fósforo encendido en el centro del escenario.

Esto es interesante , a las 1 20'

Sus condiciones límite son: aire completamente quieto, sin superficies reflectantes asimétricas, etc., etc.

Interesante, pero ¿es posible que esta falta de reciprocidad se deba al ruido de fondo? Es decir, debido al diseño del teatro, el nivel de ruido de fondo cuando se está de pie en el escenario es más alto que en las gradas, ahogando el sonido del papel rasgado.
posiblemente para nuestro experimento estudiantil. Pero escucha los cambios de aplausos de youtube. y este análisisacoustics.org/… . estas amplificaciones no funcionarían al revés. un sonido en la fila superior no tendría los mismos reflejos.

No sé acerca de la acústica, pero cuando las ondas de RF (radio) se someten a una reflexión de trayectos múltiples y la señal se recibe con múltiples antenas (la llamada diversidad de antenas) para superar los nulos de interferencia, sí importa en qué dirección se propaga la onda . Esta es una fuente de una confusión común porque cada wavelet (frente de onda/rayo) de hecho se propaga recíprocamente. El comportamiento no recíproco es una estadísticauno. Por ejemplo, para una recepción de diversidad eficiente, a uno le gustaría tener las antenas espaciadas para que las señales recibidas no estén correlacionadas entre sí. El hecho de que estas señales no estén correlacionadas o no dependerá de la altura de las antenas. Para una torre celular, esa separación puede ser de varias longitudes de onda, mientras que para un teléfono celular que está situado cerca o en el suelo puede ser de una longitud de onda o menos, y la razón de esto es que en una ciudad en el suelo, el teléfono celular está rodeado de reflectores multicamino, pero la torre por encima del suelo no lo está. Por supuesto, en un entorno rural donde hay uno o dos reflectores, incluso las estadísticas son recíprocas.

Si puedo oír a Bob, ¿puede Bob oírme? (AKA, ¿por qué la función de Green para la propagación del sonido tiene que ser simétrica?)
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