Si ABR es un estado puro, ¿por qué S(A,B) = S(R), donde S es la entropía de Von Neumann?

Para cualquier estado puro$S$que separas en dos piezas (posiblemente enredadas)$A$y$B$, puede usar la descomposición de Schmidt para reescribir el estado en la forma:

$$S = \sum_k s_k |a_k\rangle |b_k\rangle$$

donde el$s_k$escalares están entre 0 y 1 y tienen cuadrados que suman 1, el$a_k$Los vectores son de la$A$parte siendo mutuamente perpendiculares, y la$b_k$Los vectores son de la$B$parte siendo mutuamente perpendiculares.

cuando rastreas$B$, las mutuamente perpendiculares$|b_k\rangle$los vectores dividen efectivamente el estado en el estado mixto

$$S_A = \sum_k s_k^2 |a_k\rangle \langle a_k|$$

Similarmente

$$S_B = \sum_k s_k^2 |b_k\rangle \langle b_k|$$

En otras palabras, cuando se enfoca solo en$A$hay una$s_0^2$probabilidad de estar en estado$|a_0\rangle$, a$s_1^2$probabilidad de estar en estado$|a_1\rangle$, Etcétera.

Desde el$s_k$valores definen las probabilidades, y la entropía de Von Neumann es una función de las probabilidades, y ambas sumas usan el mismo$s_k$, la entropía de$S_A$es igual a la entropía de$S_B$.

No importa si crea un estado puro general a través de un paso de purificación o si toma varias decisiones diferentes sobre dónde colocar la división entre los dos subsistemas. Esto funciona para cualquier estado puro y cualquier división.