Segunda ley de Kepler: ¿conservación de la energía o del momento angular?

Multiplique ambos lados de su ecuación por la masa y tendrá la igualdad de la magnitud del momento angular en el perigeo y el apogeo. En estos puntos la velocidad es perpendicular a la posición, por lo que$|\mathbf{L}|=|\mathbf{r}\times m\mathbf{v}|=mvr$.

En lenguaje moderno, la Segunda Ley de Kepler expresa la conservación del momento angular, no la conservación de la energía. Pero a menudo se expresa en términos de geometría , como en Wikipedia :

Una línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales.

Para ver la conexión entre este enunciado de la segunda ley relacionado con el área y la conservación del momento angular, recuerda que la magnitud del producto vectorial entre dos vectores es el área del paralelogramo que forman. La mitad de esto es el área del triángulo que forman.

Imagina el triángulo barrido con el tiempo.$dt$por el vector de posición$\mathbf{r}$a medida que cambia por$\mathbf{v}dt$. El área infinitesimal barrida es

$$dA=\frac12|\mathbf{r}\times\mathbf{v}dt|$$

porque uno de los lados del triangulo es$\mathbf{r}$y otro lado es$\mathbf{v}dt$.

De este modo

$$\frac{dA}{dt}= |\mathbf{r}\times\mathbf{v}|=\frac{|\mathbf{L}|}{m}=\text{constant}.$$

Entonces, la velocidad a la que se barre el área es constante porque el momento angular es constante.