¿Se sigue aplicando la ley de Snell después de que se ha producido la reflexión interna total?

Primero, calculemos el ángulo crítico. Como usted señaló, en$\theta_1=\theta_c$,$\sin\theta_2=1$, y por lo tanto$\theta_c=\arcsin(n_2/n_1)$. Obviamente, para que exista un ángulo crítico, debemos tener$n_1>n_2$, de modo que$n_2/n_1<1$.

Ahora, por la ley de Snell, sabemos que

$$\begin{align} \sin\theta_1=\frac{n_2}{n_1}\sin\theta_2\end{align}$$ Como $\theta_1$aumenta a $\theta_c$, $\sin\theta_2$va a $90$grados, como usted señaló:

$$\begin{align} \sin \theta_c =\frac{n_2}{n_1}=\frac{n_2}{n_1}\sin\theta_2\rightarrow \sin\theta_2=1 \end{align}$$

Para$\theta_1>\theta_c$, encontramos eso

$$\begin{align} \sin \theta_1 \equiv C = \frac{n_2}{n_1}\sin\theta_2\rightarrow \sin\theta_2=\frac{C}{n_2/n_1} \end{align}$$

dónde$C$es un número mayor que$(n_2/n_1)$pero menor que 1, lo que implica que$\frac{C}{n_2/n_1}>1$. Por lo tanto, tienes razón; La ley de Snell no podrá resolver el ángulo refractado para un ángulo incidente mayor que$\theta_c$. En cambio, el sistema en este límite obedece a la ley de reflexión. Para obtener más información sobre la ley de Snell y la reflexión interna total, consulte aquí para obtener una buena referencia.

La ley de Snell se obtiene aplicando las condiciones de frontera electromagnéticas al problema; por lo tanto, se cumple en todas las circunstancias en las que se cumplen las ecuaciones de Maxwell.

Para ver qué sucede con ángulos de incidencia mayores que el ángulo crítico, derivamos la ley de Snell. Las condiciones de frontera electromagnéticas toman la siguiente forma para las polarizaciones TE y TM de la onda incidente:

$$A_ie^{j\mathbf{k_+ \cdot r}} + A_re^{j\mathbf{k_- \cdot r}} = A_te^{j\mathbf{k'\cdot r}}$$

La ley de Snell se obtiene teniendo en cuenta las partes exponenciales de$z=0$:

$$k_x=k_x' \rightarrow k\sin \theta = k'\sin \theta' \rightarrow \boxed{n\sin \theta =n'\sin \theta'}$$

Ahora obtenemos los vectores de onda en el$z$dirección,$k_z$y$k_z'$:

$$k_z^2+k_x^2=k^2=n^2 k_0^2$$

$$k_z'^2+k_x'^2=k'^2=n'^2 k_0^2$$

Usando la ley de Snell ($k_x' = k_x$, entonces$k_x' = k \sin \theta = n k_0 \sin \theta$) encontramos, a partir de la segunda ecuación:

$$k_z'^2 = k_0^2 \left( n'^2 - n^2 \sin^2 \theta \right) \Rightarrow k_z' = k_0\sqrt{n'^2-n^2\sin^2 \theta}$$

Usando esta ecuación podemos ver lo que sucede para ángulos de incidencia mayores que el ángulo crítico. Si$n'<n\sin \theta$el vector de onda en el$z$la dirección se volvería imaginaria.$k_z' = j \alpha$, con

$$\alpha = k_0 \sqrt{n^2\sin^2 \theta - n'^2}$$

y la función de onda en el medio de la derecha sería

$$()e^{- \alpha z + j k_x' x}$$

Por lo tanto, existe una onda en el segundo medio incluso para$\theta >\theta_0$, pero decae exponencialmente con$z$y no lleva ninguna energía en el$z$dirección (una onda evanescente ).