¿Se ralentizará naturalmente un cuerpo caliente?

La aparente paradoja se puede analizar más claramente si la simplificamos un poco. Supongamos que tenemos un objeto con masa$M$emitiendo dos fotones en direcciones opuestas, cada uno de ellos con impulso$p$.

En el marco de reposo del objeto, eligiendo el eje X para alinearlo con los fotones emitidos, tendremos los siguientes cuatro momentos (usando unidades donde$c = 1$):

Antes

$p_{obj}^{before} = [M,0,0,0]$

Después

$p_{obj}^{after} = [M-2p,0,0,0]$

$p_{\gamma_1} = [p,p,0,0]$

$p_{\gamma_2} = [p,-p,0,0]$

Aquí tenemos claramente la conservación de cuatro momentos:

$p_{obj}^{before} = p_{obj}^{after} + p_{\gamma_1} + p_{\gamma_2}$

Como se trata de una ecuación de cuatro vectores invariante de Lorentz, será válida en cualquier marco de referencia.

Para verlo más explícito, impulsemos el sistema a una velocidad$v$en la dirección +X y mira cómo quedan las ecuaciones:

Antes

$p_{obj}^{before} = \left[M\,(1-v^2)^{-1/2},M\,v\,(1-v^2)^{-1/2},0,0\right]$

Después

$p_{obj}^{after} = \left[(M-2p)\,(1-v^2)^{-1/2},(M-2p)\,v\,(1-v^2)^{-1/2},0,0\right]$

$p_{\gamma_1} = \left[p(1-v^2)^{-1/2}+p\,v\,(1-v^2)^{-1/2},p(1-v^2)^{-1/2}+p\,v\,(1-v^2)^{-1/2},0,0\right]$

$p_{\gamma_1} = \left[p(1+v)(1-v^2)^{-1/2},p(1+v)(1-v^2)^{-1/2},0,0\right]$

$p_{\gamma_2} = \left[p(1-v)(1-v^2)^{-1/2},p(1-v)(1-v^2)^{-1/2},0,0\right]$

Aquí es un poco más tedioso, aunque sencillo, verificar la conservación de cuatro momentos.

Para finalizar el análisis, veamos cómo se transforma la componente X del momento del fotón cuando potenciamos el sistema. Comenzamos agregando de nuevo los poderes de$c$:

$p^{boosted}_{\gamma_1x} = p\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}$

Usando la relación entre la longitud de onda y el impulso y haciendo algo de álgebra,

$\lambda^{boosted}_{\gamma_1} = h\left(\frac{h}{\lambda^{unboosted}_{\gamma_1}}\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}\right)^{-1}$

$\lambda^{boosted}_{\gamma_1} = \lambda^{unboosted}_{\gamma_1}\left(1+\beta\right)^{-1}\left(1-\beta^2\right)^{1/2}$

$\lambda^{boosted}_{\gamma_1} = \lambda^{unboosted}_{\gamma_1}\left(1+\beta\right)^{-1}\left(1+\beta\right)^{1/2}\left(1-\beta\right)^{1/2}$

$\displaystyle \frac{\lambda^{boosted}_{\gamma_1}}{\lambda^{unboosted}_{\gamma_1}} = \sqrt{\frac{1-\beta}{1+\beta}}$

obtenemos la expresión del cambio de longitud de onda por el efecto Doppler relativista (la diferencia en el signo de$\beta$se debe a la convención de signos de velocidad).

Bueno, la respuesta es que el cuerpo perderá el impulso. Pero como la masa del cuerpo también disminuirá debido a la radiación, la velocidad no debería cambiar.

El cuerpo no disminuirá la velocidad, eso contradiría la relatividad. Si bien la siguiente frase en la respuesta: "El cuerpo emite radiación en función de su temperatura" es técnicamente correcta, eso no significa que la distribución de energía de radiación sea la misma para un cuerpo en movimiento y un cuerpo en reposo. Para el cuerpo en movimiento deberías usar la electrodinámica de cuerpos en movimiento.

(Este es solo un enfoque cualitativo, pero daré suficientes datos para que puedas resolverlo por ti mismo) Muy bien. El problema principal aquí es que estamos descuidando los efectos relativistas, que DEBEN tenerse en cuenta al tratar con el efecto doppler de la luz.

En el efecto doppler del sonido, siempre asumimos que el medio es un "marco de reposo", ya que el sonido tiene una velocidad fija en relación con su medio. El efecto doppler proviene en parte de este hecho. Ahora, como la luz tiene una velocidad de vacío fija, en esta situación, un marco de reposo no tiene sentido. Todavía hay un efecto doppler, se conoce como el efecto doppler relativista . Como con todas las cosas relativistas, esto solo es significativo a grandes velocidades. Pero la paradoja se resuelve a la velocidad que se tome, siempre que no se descuide esto y algo más:

La cantidad de movimiento de un cuerpo en relatividad es$\gamma m_0 v$, dónde$\gamma$es el factor de lorentz, y$m_0$es la masa restante. Tenga en cuenta que la masa en reposo es la energía total del cuerpo en reposo dividida por$c^2$. Ahora, a medida que el cuerpo pierde energía térmica (se está enfriando), este valor de$m_0$también disminuye. De este modo$\gamma m_0$disminuye (en una pequeña cantidad, a menos que v sea grande)

Ahora, la conjunción de los dos nos da esto: el momento del cuerpo disminuye, pero también lo hace su masa. Con suerte, esto debería conducir a que no haya una desaceleración neta. La razón por la que no se ralentiza fue bien dada por @zephyr arriba. Lo elaboraré aquí: considere un marco de referencia diferente, moviéndose con una velocidad de 2v hacia adelante. Ahora, en este marco, la situación es idéntica excepto que el cuerpo se mueve hacia atrás. Supongamos que se ralentiza en nuestro cuadro inicial. Como todos los marcos inerciales son equivalentes, también debería disminuir la velocidad en relación con el nuevo marco. Pero, esta desaceleración será en una dirección opuesta y, por lo tanto, los dos observadores no estarán de acuerdo en la dirección de la desaceleración del cuerpo. Esto no está permitido en marcos inerciales. Entonces, por reducto ad absurdum, la premisa inicial (el cuerpo desacelera) es falsa. Para probarlo de otra manera,$-a=a\implies a=0$

Por supuesto, puede calcular cuantitativamente el cambio en la masa en reposo y el impulso y (con suerte) demostrar que la velocidad no cambia.

Vamos a ver.

Un fotón se lleva el impulso$h\nu/c$.

Ahora bien, si el cuerpo es un cuerpo redondo, digamos una estrella, estará irradiando uniformemente desde la superficie. Tomemos los que van hacia adelante, sus$\nu$aumenta debido al movimiento hacia adelante, y el impulso aumenta. Si tomamos los que van hacia atrás, el$\nu$disminuye y el impulso disminuye. Uno tendría que calcularlo , diría que los momentos hacia adelante y hacia atrás sumarán un cambio cero para el cuerpo, en primer orden, ya que son lineales con los cambios de longitud de onda, por lo que no cambian la velocidad del cuerpo. Calcular para una forma particular y un espectro de radiación particular podría dar efectos de mayor orden.