¿Se puede aplicar el teorema del trabajo-energía en este caso?

De hecho, este es un sistema no conservativo y, por lo tanto, no hay razón para afirmar que la energía perdida por uno la ganará el otro; parte de ella se habrá disipado como calor en su interfaz.

Esto es más fácil de ver en el marco del centro de masa, donde el impulso comienza y termina en cero. Si dos objetos se juntan y luego se pegan, entonces la energía cinética debe haber sido mayor que cero antes de la colisión y cero después, ya que ambos deben estar en reposo en este marco de referencia. El hecho de que deben tener un impulso total cero en este marco de referencia significa

$$m_1 v_1 + m_2 v_2 = 0$$ que se puede reescribir como $v_2 = -(m_1/m_2) v_1$, su velocidad relativa es por lo tanto $v_0 = v_1 - v_2 = \left(1 + \frac{m_1}{m_2}\right)v_1 = -\left(1 + \frac{m_2}{m_1}\right)v_2.$Si tratas de sumar estas fracciones como todos aprendimos en la escuela, verás que hay una masa interesante $M = m_1 m_2/(m_1 + m_2)$surgiendo aquí, con $v_0 = m_1~v_1/M = -m_2~v_2/M.$

Por lo tanto, la energía perdida se puede derivar en este marco de centro de masa como

$$E_\text{loss} = \frac12 m_1 v_1^2 + \frac12 m_2 v_2^2 = \frac12 \left(\frac{M^2}{m_1} + \frac{M^2}{m_2}\right) v_0^2 = \frac12 M v_0^2,$$ donde he usado el hecho de que $\frac1M = \frac1{m_1} + \frac1{m_2}.$

Las diferencias en la energía cinética son independientes del marco de referencia, aunque el valor absoluto de la energía cinética no lo sea, por lo que su balance de energía real en el marco que le interesa debe ser (con su$M$que estaba llamando$m_2$, no la$M$estaba usando arriba)

$$\frac12 m v_0^2 =\frac12 m v^2 + \frac 12 M v^2 + \frac 12 \frac{m M}{m + M} v_0^2.$$ A partir de aquí hay sólo un pequeño paso para encontrar $$\left(\frac{m}{m + M}\right)^2 v_0^2 = v^2$$ y así que $v = \pm v_0 m/(m + M),$y es "obvio" que elegimos el signo +.

Sin embargo, es mucho más fácil llegar a este resultado, en lugar de usar un balance de energía, construyendo el balance de cantidad de movimiento,

$$m v_0 = (M + m) v,$$ lo que le brinda ese resultado particular directamente sin tener que hacer nada de este arduo trabajo.

Has cometido un error de señal. La ecuación inicial correcta es

$$\frac{1} {2} m (v_0^2 - v^2) = \frac{1} {2} M v^2$$ La izquierda es la energía perdida por el bloque pequeño, la derecha es la energía ganada por el bloque grande. Por supuesto, esto supone que no se disipa energía por fricción, solo se transfiere, lo cual es poco probable.