¿Se colapsará un universo cerrado con energía oscura en un gran crujido o se expandirá para siempre?

La cuestión de si un universo cerrado colapsará o no depende de las raíces de las ecuaciones de Friedmann. Para$\Lambda$Modelos CDM, estos son

$$\begin{align} \dot{a}^2 &= H_0^2\left(\Omega_{M,0}\,a^{-1} + \Omega_{K,0} + \Omega_{\Lambda,0}\, a^2\right),\tag{1}\\ \ddot{a} &= H_0^2\left(-\frac{1}{2}\Omega_{M,0}\,a^{-2} + \Omega_{\Lambda,0}\, a\right),\tag{2} \end{align}$$ dónde $\Omega_{M,0}$y $\Omega_{\Lambda,0}$son los parámetros actuales de materia y energía oscura, ignoramos la (pequeña) contribución de la radiación, y $\Omega_{K,0} = 1 - \Omega_{M,0} - \Omega_{\Lambda,0}$. podemos reescribir $(1)$como $$f(a) = \frac{a\dot{a}^2}{H_0^2} = \Omega_{M,0} + \Omega_{K,0}\, a + \Omega_{\Lambda,0}\, a^3,\tag{3}$$ junto con su derivado en $a$ $$f'(a) = \Omega_{K,0} + 3\,\Omega_{\Lambda,0}\, a^2.\tag{4}$$ Considere el siguiente ejemplo:

Esta trama muestra$f(a)$para tres modelos con$\Omega_{M,0}=2.5$. El modelo verde, con$\Omega_{\Lambda,0} = 0.15$, se expande para siempre. El modelo azul, con$\Omega_{\Lambda,0} = 0.05$, tiene una raíz en$a_0 = 1.8015$. Desde$\ddot{a}<0$en esta raíz,$\dot{a}$cambia de positivo a negativo, por lo que este modelo colapsará. El modelo rojo es un caso límite: aquí, tanto$\dot{a}$y$\ddot{a}$son cero en el mismo punto,$a_0 = 2.3490$, por lo que la expansión se detiene temporalmente, pero luego continúa. Para encontrar estos modelos de frontera, necesitamos obtener una expresión para$\Omega_{\Lambda,0}$por un valor dado$\Omega_{M,0}$, tal que

$$f(a_0) = f'(a_0) = 0,$$ dónde $a_0 > 1$. En lugar de resolver por $\Omega_{\Lambda,0}$directamente, vamos a resolver para $\Omega_{K,0}$primero. Al enchufar $$f'(a_0) = \Omega_{K,0} + 3\,\Omega_{\Lambda,0}\, a_0^2 = 0$$ en $f(a_0) = 0$, podemos eliminar $\Omega_{\Lambda,0}$y obtener $$3\,\Omega_{M,0} + 2\,\Omega_{K,0}\,a_0 = 0.\tag{5}$$ Volvemos a enchufar esto $f'(a_0) = 0$para eliminar $a_0$:

$$4\,\Omega_{K,0}^3 + 12\,\Omega_{\Lambda,0}\,\Omega_{K,0}^2\, a_0^2 = 4\,\Omega_{K,0}^3 + 27(1 - \Omega_{K,0} - \Omega_{M,0})\,\Omega_{M,0}^2 = 0,$$ o $$\Omega_{K,0}^3 - \frac{27}{4}\,\Omega_{M,0}^2\,\Omega_{K,0} + \frac{27}{4}(1 - \Omega_{M,0})\,\Omega_{M,0}^2 = 0.$$ Esta es una ecuación cúbica en $\Omega_{K,0}$de forma Cardano $t^3 + pt + q = 0$. Sus tres raíces son

$$\Omega_{K,0}^{(k)} = -\frac{3}{2}\Omega_{M,0}^{2/3}\left[e^{4\pi ik/3} \left((1 - \Omega_{M,0}) + \sqrt{1 - 2\,\Omega_{M,0}}\right)^{1/3} +\right. \\ \left. e^{-4\pi ik/3} \left((1 - \Omega_{M,0}) - \sqrt{1 - 2\,\Omega_{M,0}}\right)^{1/3}\right],$$ con $k=0,1,2$. Si $\Omega_{M,0}\geqslant 1/2$, estas tres raíces son reales, y podemos escribir

$$(1 - \Omega_{M,0}) + \sqrt{1 - 2\,\Omega_{M,0}} = (1 - \Omega_{M,0}) + i\sqrt{2\,\Omega_{M,0}-1} = re^{i\theta},$$ con

$$\begin{align} r &= \sqrt{(1 - \Omega_{M,0})^2 + 2\,\Omega_{M,0}-1} = \Omega_{M,0},\\ \theta &= \arccos\left(\frac{1 - \Omega_{M,0}}{\Omega_{M,0}}\right), \end{align}$$ de modo que $$\Omega_{K,0}^{(k)} = -3\,\Omega_{M,0}\cos\left(\frac{\theta + 4\pi k}{3}\right).$$ Si $\Omega_{M,0}\geqslant 1$, el $k=1$root define el límite de colapso. En efecto, $\pi/2\leqslant\theta < \pi$, de modo que $-3/2\,\Omega_{M,0} < \Omega_{K,0}^{(1)} \leqslant 0,$y de $(5)$obtenemos $a_0 > 1$. Se puede verificar además que el $k=2$la raíz no es física ( $a_0 < 0$), mientras que la $k=0$root define el límite de los modelos sin Big Bang ( $a_0 < 1$).

Por lo tanto,

$$\begin{align} \Omega_{\Lambda,0}^{(\text{collapse})} &= 1 + \Omega_{M,0}\left[ 3\cos\left(\frac{\theta + 4\pi }{3}\right) - 1\right] = 4\,\Omega_{M,0}\cos^3\left(\frac{\theta + 4\pi}{3}\right), \end{align}$$ donde usamos la identidad $3\cos x = 4\cos^3 x - \cos 3x$. La siguiente gráfica muestra este límite, entre el área roja y amarilla. El punto rojo se corresponde con el modelo rojo en la primera gráfica. Tenga en cuenta que el $\Lambda$El modelo CDM correspondiente a nuestro universo (punto negro) no colapsará.

Un universo espacialmente cerrado puede expandirse para siempre si la densidad de energía del vacío no es cero.

Sí, un universo sin energía oscura se expandirá desacelerado y colapsará en un gran crujido. Esto sigue siendo cierto si pequeñas cantidades de energía de vacío, respectivamente$\Omega_\Lambda$está agregado. El gran crujido se evita si el parámetro de densidad$\Omega_\Lambda$supera un valor crítico. Este valor corresponde a un universo cerrado que se expande eternamente. La fórmula aquí se da en la página 82 de "Física cosmológica" de Peacock. Responder a su pregunta con respecto a la energía oscura no es tan estricto porque se desconoce su naturaleza. Hasta ahora los datos son consistentes con la suposición de que la expansión acelerada observada del universo se debe a la constante cosmológica$\Lambda$.

Creo que podría estar confundiendo la curvatura de la variedad de espacio-tiempo con la curvatura espacial, una vez que diferencia los dos, también debería proporcionar algunas condiciones iniciales razonables para que su pregunta sea un poco más precisa. En cualquier caso intentaré responder a tu pregunta lo mejor posible.

Para estar en la misma página, supongamos que$\Lambda$CDM-modelo de cosmología. Verá en el artículo que la base es la métrica FLRW que contiene una variable$k$que solo puede tomar tres valores a priori, en tu caso para un universo cerrado el valor de$k$corresponde a$+1$. Ahora considere la ecuación de Friedmann que surge de las ecuaciones de campo de Einstein y la métrica FLRW:

$$H^2 = \left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}{\rho} - \frac{kc^2}{a^2}+\frac{\Lambda c^2}{3}$$ Entonces, para responder a su pregunta exactamente, uno necesitaría especificar el contenido del asunto, es decir, especificar $\rho$o al menos su escala con $a$(el factor de escala). Si fuera el caso, como lo es ahora, que la densidad de la materia escala como $a^{-3}$, se puede decir que eventualmente el término Energía Oscura $\Lambda$dominará la expansión. Sin embargo, puede preguntar si podríamos alcanzar el estado actual del universo dentro de un escenario de universo cerrado, pero para eso tendrá que especificar el contenido para diferentes épocas. La única forma en que puede contraerse, como puede ver en la ecuación, es que domine el término medio del lado derecho, y eso solo sucedería para etapas muy específicas (pequeñas $a$pero no lo suficientemente pequeño como para que el $\rho$domina el término).