Se arrojan dos objetos a un agujero negro. El primero cruza el horizonte de eventos al final del tiempo, entonces, ¿cuándo cruza el segundo?

Es tentador considerar el infinito como un número, es decir, hay un tiempo$t=\infty$, pero el infinito no es un número. En cambio, es un límite, y es un límite que nunca se puede alcanzar. Si graficamos la distancia radial de nuestro objeto que cae contra el tiempo, obtendríamos algo como:

Pero el$t$el eje nunca termina y la línea roja nunca llega a él. Entonces no hay un final de tiempo que puedas etiquetar$\infty$y el objeto que cae nunca se encuentra con el horizonte de eventos.

Este es el problema con tu pregunta. No tiene sentido preguntar cuánto tiempo después el segundo objeto se encuentra con el horizonte porque ninguno de los dos objetos se encuentra con el horizonte.

Es cierto que los físicos tienen la costumbre de poner infinito en sus diagramas de espacio-tiempo, conocidos como diagramas de Penrose , pero se entiende que esto muestra un límite, no un tiempo o una distancia reales.

Contrariamente a los votos actuales, ¡esta es una excelente pregunta!

En primer lugar, lea la respuesta de John Rennie, sus reservas están perfectamente justificadas, y cualquier respuesta que se atreva a ir más allá de su respuesta debe considerarse con mucha cautela.

En segundo lugar, su pregunta y las respuestas actuales se basan en el punto de vista de un observador fuera del agujero negro. Hay que distinguir a) la percepción del observador (lo que pudo ver) y b) el diagrama espaciotemporal de un observador, que no es lo mismo (en su diagrama espaciotemporal se puede leer lo que es simultáneo para el observador, etc.). Es importante notar que el fenómeno es el mismo en ambos puntos de vista: a) el observador observa que un objeto que cae queda eternamente fuera del horizonte de eventos, e igualmente b) según su relativo concepto de simultaneidad (diagrama espacio-tiempo) esto se aplica a todos los objetos que caen.

Entonces podríamos cerrar el archivo diciendo que ambos objetos nunca alcanzarán el horizonte de eventos. Sin embargo, debemos ser conscientes del hecho de que esta respuesta no está tan libre de dudas como parece: sabemos que los observadores que caen no perciben el tiempo infinito frente al horizonte de eventos. Desde su punto de vista, están alcanzando (¿y cruzando?) el horizonte de sucesos en un tiempo finito. Sin embargo, su diagrama de espacio-tiempo (ver arriba b)) les diría que simultáneamente con su cruce del horizonte de eventos, el exterior del horizonte de eventos ha llegado a su fin.

Es curioso notar que todos los demás observadores del universo (y todos los demás objetos y partículas si los consideramos como observadores) están experimentando lo mismo: todos los objetos del universo están alcanzando todos los horizontes de eventos del universo simultáneamente con el final de tiempo (según su respectivo diagrama de espacio-tiempo relativo, ver arriba b)).

Entonces, como resultado, podríamos decir: un tiempo infinito no es un momento matemáticamente definido. Pero debemos ser conscientes del hecho de que el infinito podría desempeñar un cierto papel dentro de la lógica del universo.

En otras palabras, el primer objeto cruza el horizonte de eventos justo al final de los tiempos.

Asumiendo la solución del agujero negro de Schwarzschild, las coordenadas de Schwarzschild$r,t$no mapee todo el horizonte de eventos, es decir, un solo evento (suprimiendo las coordenadas angulares por simplicidad) se mapea para$r = 2M, -\infty \lt t \lt \infty$.

Por lo tanto, no es el caso de que una partícula de prueba en esta geometría cruce el horizonte al "final de los tiempos". En las coordenadas de Schwarzschild, las coordenadas del 'observador en$r = \infty$', no hay valor de la coordenada de tiempo$t$que se asigna al evento de la partícula cruzando el horizonte.

La idea de "en un tiempo infinito" aquí es un artefacto del uso de las coordenadas de Schwarzschild para describir el agujero negro. Las coordenadas de Schwarzschild son convenientes para muchos propósitos, en primer lugar, porque son estacionarias fuera del agujero negro, pero solo describen un subconjunto adecuado del espacio-tiempo ideal completo de la solución del agujero negro a las ecuaciones GR.

Como una simple analogía, imagina que tuviéramos alguna buena razón para describir puntos en el plano no por coordenadas ordinarias sino por los logaritmos de esas coordenadas. Esta descripción podría hacernos pensar que todo lo que existe es el primer cuadrante del espacio, un punto que se mueve hacia el$x$- o$y$-axis verá que una de sus coordenadas se dirige hacia el infinito negativo. Entonces, por el mismo razonamiento que en su pregunta, podríamos decir que no podemos cruzar esos ejes porque "nos vamos a quedar sin números" primero.

Podemos volver a coordinar el Schwarzschild de manera que una partícula que se acerque al horizonte de sucesos no se quede sin números. Las coordenadas de Kruskal-Szekeres son una de esas recoordinatizaciones, donde el espacio exterior de Schwarzschild encaja como un subconjunto abierto.

En las coordenadas de Kruskal-Szekeres, podemos ver que dos partículas que caen en el agujero negro desde la misma dirección, pero comenzando al mismo tiempo, en realidad cruzarán el horizonte de eventos en diferentes eventos que están conectados por una curva similar a la luz (es decir , un geodésica nula). En este sistema de coordenadas, los eventos de cruce tienen números finitos ordinarios como coordenadas. Generalmente, las partículas continuarán por caminos separados a través del espacio-tiempo interior y se encontrarán con la singularidad en diferentes puntos.

(Es importante tener en cuenta que esto, por supuesto, está hablando de una configuración matemática idealizada: en la vida real, un agujero negro real no dura un tiempo infinito y tampoco es seguro que el universo lo haga).

Ambos lo alcanzan en tiempo infinito. Es por la misma razón que las gráficas de ambos$f(x) = \frac{1}{x + 1}$y$g(x) = \frac{1}{x + 2}$tener límite 0 en infinito$x$a pesar de comenzar en diferentes puntos cuando$x = 0$.

AGREGAR (2018-01-16): La otra respuesta aquí menciona cómo ese "infinito" "no es un número" y "no debe considerarse como uno". Yo diría que esto depende de tu punto de vista. Si llamas "infinito" un "número" o no depende de qué objetos elijas admitir bajo la etiqueta de "número" (y también, qué objetos elijas etiquetar con la palabra "infinito") que es, ciertamente, algo que es más bien no admitir una definición formal precisa (es decir, no existe una definición matemática formal precisa de lo que es un "número", excepto dado que algunos tipos de objetos matemáticos se denominan como tales). El concepto relevante de "infinito" aquí es el de la "recta numérica real extendida" - Noté que el interrogador original mencionó algo sobre infinitos en su publicación diciendo que eran como cardinalidades de conjuntos infinitos. Esto no es correcto: la noción relevante es el "infinito" tal como se usa en el cálculo, que es formalmente un miembro de este conjunto extendido, y se le puede extender una función continua adecuada tomando el límite.

Si uno se opone a este formalismo (aunque no veo por qué habría que hacerlo, es perfectamente sensato siempre que uno juegue con las reglas que lo gobiernan, lo cual se requiere para todas las matemáticas), en lugar de decir "que se 'alcanza' " . en un tiempo infinito'", se puede decir que ambos "se acercan arbitrariamente al horizonte en tiempos adecuadamente largos", o que "ambos alcanzan el horizonte en el límite de tiempos arbitrariamente largos". En cualquier caso, se requiere un límite porque las funciones relevantes no están definidas directamente en$t = \infty$(en el ERL): es muy parecido al caso de una "singularidad extraíble" como de$f(x) = x^0$.

Ahora bien, en cuanto al mundo físico , no es algo que podamos probar empíricamente o confirmar si el tiempo transcurre arbitrariamente lejos o no, y mucho menos si el punto terminal$t = \infty$que se agregaría en una configuración extendida de números reales por conveniencia realmente existió. Es más bien una característica de nuestros modelos , y ciertamente bastante idealizados, que se puede omitir sin afectar ninguna predicción que sea realmente comprobable. (De hecho, se podría argumentar que cualquier afirmación sobre un supuesto "fin de los tiempos" no se puede probar empíricamente en absoluto porque una vez que ocurre, dejamos de existir y, por lo tanto, no podemos registrarlo como una verdad). En realidad, un agujero negro real es casi con certeza limitada por la evaporación radiativa de Hawking que corta su vida útil en un tiempo muy alto pero finito (alrededor de$10^{100}$s para los agujeros negros más grandes, frente a la edad del Universo actual en alrededor de 435 Ps ($435 \times 10^{15}$s) o calibre 13,8). La regla para el lapso de tiempo en ese caso es que cualquier objeto en caída libre alcanzará el horizonte en el instante en que el agujero negro desaparezca. Así también, ambos objetos alcanzan el horizonte al mismo tiempo, solo que ahora es un "número" finito y matemáticamente incontrovertible.