Salida de un divisor de haz con entradas de estado de número de fotones (Fock)

Las ecuaciones de transformación que especifica no son correctas ya que no respetan la unitaridad. La condición de unitaridad (o conservación de energía) para la acción del divisor de haz da las siguientes transformaciones:

$\hat{c}=\sqrt{\tau}\hat{a}+\sqrt{1-\tau}\hat{b}$

$\hat{d}=\sqrt{1-\tau}\hat{a}-\sqrt{\tau}\hat{b}$

El signo menos en la segunda ecuación asegura que se respete la unitaridad.

Por razones que se aclararán pronto, invirtamos estas ecuaciones para obtener los operadores del modo de entrada$\hat{a}$y$\hat{b}$en términos de los operadores de modo de salida$\hat{c}$y$\hat{d}$. Como se esperaba de los argumentos de reversibilidad, obtenemos:

$\hat{a}=\sqrt{\tau}\hat{c}+\sqrt{1-\tau}\hat{d}$

$\hat{b}=\sqrt{1-\tau}\hat{c}-\sqrt{\tau}\hat{d}$

Es útil observar este problema en la imagen de Heisenberg donde la acción del divisor de haz está completamente en los operadores de creación y aniquilación de modo con el estado de campo inicial asumido como vacío.

Dado que los estados de entrada que se consideran son los estados de Fock$|m\rangle_{a}$y$|n\rangle_{b}$el estado de campo inicial completo se puede escribir alternativamente como:

${(a^{\dagger})^m(b^{\dagger})^n |0\rangle_{a}|0\rangle_{b}|0\rangle_{c}|0\rangle_{d}}$

Ahora sustituimos las expresiones anteriores por$\hat{a}$y$\hat{b}$en términos de$\hat{c}$y$\hat{d}$dada por las transformaciones del divisor de haz. El estado del campo después de las transformaciones de modo es,

$(\sqrt{\tau}\hat{c}^{\dagger}+\sqrt{1-\tau}\hat{d}^{\dagger})^m(\sqrt{1-\tau}\hat{c}^{\dagger}-\sqrt{\tau}\hat{d}^{\dagger})^n|0\rangle_{a}|0\rangle_{b}|0\rangle_{c}|0\rangle_{d}$

Por lo tanto, se han obtenido los estados de salida para una transformación de divisor de haz en los estados de Fock de entrada.

Como señaló correctamente Peter Shor, una hermosa consecuencia de estas transformaciones es el efecto Hong-Ou-Mandel. Establece que cuando los estados de un solo fotón inciden al mismo tiempo en los puertos de entrada del divisor de haz, ambos fotones emergen del mismo puerto de salida.

Esto se puede verificar fácilmente a partir de la ecuación que hemos obtenido al poner$m=n=1$. También por conveniencia pongamos$\tau=0.5$es decir, el divisor de haz es$50:50$relación. El estado del campo de salida es,

$\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{c}^{\dagger}+\hat{d}^{\dagger})\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{c}^{\dagger}-\hat{d}^{\dagger})|0\rangle_{a}|0\rangle_{b}|0\rangle_{c}|0\rangle_{d}$

$=\frac{1}{2}\big((\hat{c}^{\dagger})^2-(\hat{d}^{\dagger})^2\big)|0\rangle_{a}|0\rangle_{b}|0\rangle_{c}|0\rangle_{d}$

$=\frac{1}{\sqrt{2}}(|2\rangle_{c}|0\rangle_{d}-|0\rangle_{c}|2\rangle_{d})$

Por lo tanto, vemos claramente que ambos fotones emergen del puerto$C$o ambos emergen del puerto$D$. Tal estado se conoce como estado NOON de dos fotones (el estado se ve así cuando N = 2) y este efecto es de suma importancia en los esquemas de computación cuántica óptica lineal.