Ruido Johnson-Nyquist para elemento resistivo con gradiente de temperatura

En el artículo de Nyquist de 1928, Agitación térmica de la carga eléctrica en los conductores , el ruido de voltaje para una resistencia se deriva asumiendo un circuito en equilibrio térmico y una temperatura.

¿Cómo cambia el ruido térmico de una resistencia cuando hay un gradiente de temperatura? Por ejemplo, ¿un circuito que tiene diferentes resistencias a temperaturas extremadamente diferentes, o un elemento resistivo largo que tiene un gradiente de temperatura en todo el conjunto?

Nyquist mira un circuito como este

donde ambos$R1$y$R2$están a la misma temperatura$T$. Cada resistencia con ruido se modela como una resistencia sin ruido en serie con una fuente de ruido para que puedan considerarse una a la vez.

Nyquist usa el hecho de que el circuito está en equilibrio térmico dos veces en su derivación: una vez para argumentar que la potencia de$R1$a$R2$es igual a la potencia de$R2$a$R1$, y una vez para usar el teorema de equipartición y asignar una energía$k_BT/2$a cada grado de libertad de cada modo en una línea de transmisión entre las dos resistencias.

Si la temperatura de las resistencias es diferente, ¿realmente puedes decir que la potencia de cada una es la misma? Si$R1$y$R2$están a diferentes temperaturas y no en equilibrio térmico, entonces parece que no puedes usar el teorema de equipartición y toda la derivación se desmorona. ¿Hay alguna forma diferente de tratar el caso de las resistencias a diferentes temperaturas?