Respuesta transitoria de la línea de transmisión al paso de voltaje antes de cualquier reflexión

Estoy preguntando específicamente si el circuito impulsor verá la línea de transmisión como una resistencia pura de acuerdo con las ecuaciones del telegrafista, o si esas ecuaciones predicen que el circuito impulsor verá una carga más compleja.

La fuente verá R1+Z y Z varía con el tiempo si tiene pérdidas. Entonces, una línea de transmisión con pérdida parecerá una carga compleja. Supongo que podría tomar la transformada de Fourier de Z y averiguar cómo se ve la carga con el tiempo. (mi intuición me dice que se acercará a la impedancia característica, pero nunca llegará hasta el infinito en t=inf jw=0 , ¡no es realmente DC hasta t=inf! )

Si la línea de transmisión no tiene pérdidas, entonces, según la ecuación, no hay dependencia del tiempo y la carga parece una resistencia según la ecuación.

Estoy preguntando específicamente si el circuito impulsor verá la línea de transmisión como una resistencia pura de acuerdo con las ecuaciones del telegrafista, o si esas ecuaciones predicen que el circuito impulsor verá una carga más compleja.

Las ecuaciones del telegrafista no indican que la impedancia vista por la fuente sea una resistencia pura. Sólo indican que la impedancia es: -

Entonces, puede meterse con R, L, G y C y obtener algo más de complejidad, pero, si está preparado para soportar algunas pérdidas, puede hacer que la proporción de R: L sea la misma que G: C y obtiene lo que es conocida como una línea sin distorsión (también definida como la condición de Heaviside ).

Y, para este caso, la impedancia de entrada es constante independientemente de la frecuencia. También es puramente resistivo.

Claramente, para una línea t sin distorsión, a frecuencias bastante altas, la impedancia es$\sqrt{\frac{L}{C}}$y esta es también una impedancia de entrada resistiva.

Para el audio (en una línea bastante sin pérdidas) no puede comportarse sin distorsiones porque G es normalmente muy, muy pequeño y R suele ser mucho mayor que$j\omega L$(en audio), por lo tanto, la impedancia tiende a convertirse en esto: -

En DC, la impedancia tiene que convertirse en esto: -

Entonces, puede ver que una línea infinita de pérdida bastante baja tendrá una impedancia de entrada como esta: -

Este gráfico de magnitud de impedancia se realizó en Microsoft Excel utilizando las cuatro variables que se muestran (aproximadamente lo que sería un cable de teléfono). Tenga en cuenta que alrededor de 1 kHz, la impedancia es de unos 600 Ω. Esto es importante en la telefonía regular y es la impedancia "estándar" utilizada para la transmisión de audio.

Magnitud de la fórmula de impedancia (no demasiado difícil de probar): -

Ángulo de fórmula de impedancia (un poco más difícil de probar): -

El punto de 600 Ω mencionado y mostrado arriba será "complejo" (no 100% resistivo) por lo tanto, para los circuitos telefónicos anti-side-tone tienden a balancearse usando esta impedancia: -

Este circuito es una representación decente de un cable telefónico típico en el ancho de banda de audio más bajo.

Cuando se cierra el interruptor, ¿cuáles serán las formas de onda de voltaje y corriente en el extremo accionado de la línea de transmisión?

Una vez que haya decidido cuál es la impedancia de entrada de la línea t (es igual a la impedancia característica para una línea infinita durante todo el tiempo), entonces es matemática simple del divisor de impedancia usando R1 y Zin.

Cuando se cierra el interruptor, ¿cuáles serán las formas de onda de voltaje y corriente en el extremo accionado de la línea de transmisión?

Solo cuando la línea no tiene distorsión o la frecuencia es lo suficientemente alta como para ignorar R y G.

También como referencia, la impedancia de una línea de transmisión con pérdida depende de la frecuencia

Por lo general, depende de la frecuencia, pero no así para una línea sin distorsión.

Este es un problema interesante.

Lo que estás pidiendo es la transformada inversa de Laplace de

$I(s) = \frac{V_0}{s}\sqrt{\frac{G+sC}{R+sL}}$

que le dará la solución exacta que busca pero que no tiene una solución de forma cerrada.

Podemos obtener alguna información de él:

El teorema del valor inicial nos permite calcular el valor inicial de la corriente:

$I(0+) = \lim_{s \to \infty} s\frac{V_0}{s}\sqrt{\frac{G+sC}{R+sL}} = V_0\sqrt{\frac{C}{L}}$

por lo que la corriente comienza en el valor de impedancia de sobretensión sin pérdidas.

El teorema del valor final da el límite como$t \to \infty$de$I(t)$como$V_0\sqrt{G/R}$, que usted derivó.

Usando las propiedades de la transformada de Laplace:

si$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)$después$\mathcal{L}\{f'(t)\}=sF(s)-f(0)$

se puede deducir la transformada de la derivada:

$\mathcal{L}\{I'(t)\}=V_0\sqrt{\frac{G+sC}{R+sL}}-V_0\sqrt{\frac{C}{L}}$

y usando de nuevo el teorema del valor inicial, puedes demostrar que

$I'(0+) = \lim_{s \to \infty} s(V_0\sqrt{\frac{G+sC}{R+sL}}-V_0\sqrt{\frac{C}{L}}) = V_0\sqrt{\frac{C}{L}} (\frac{G}{2C}-\frac{R}{2L})$

Entonces, la conductancia de fuga G tiende a aumentar la corriente con el tiempo, y la resistencia en serie R la disminuye. Puede entender esto al considerar la propagación de la onda que viaja hacia adelante, en el tiempo t viaja$\frac{t}{\sqrt{LC}}$que provoca una corriente de fuga a través de G de$\frac{V_0 tG}{\sqrt{LC}}$, solo la mitad de los cuales ha tenido tiempo de volver a influir en la corriente de entrada, por lo que el aumento de la corriente es$\frac{V_0 tG}{2\sqrt{LC}}$de acuerdo con la derivada anterior.

De manera similar, la resistencia en serie R reduce la corriente a medida que el voltaje del frente de onda disminuye a medida que la onda viaja a lo largo de la línea.

La transición del valor inicial al valor final es suave, similar a una caída exponencial, y es posible estimar la constante de tiempo de la siguiente manera:

Aquí hay una simulación de la corriente en una línea de 50 ohmios, factor de velocidad = 1, con R = 42, G = 0.001 con paso de 50 V (así que inicialmente 1A en$\sqrt{\frac{L}{C}}=50\Omega$, asentándose en$50\sqrt{\frac{G}{R}} = 0.244A$:

El voltaje vuelve a 0 a los 100 ns. Aunque no existe una forma cerrada de la forma de onda, puede calcular el área A entre la forma de onda y el valor final utilizando las propiedades de la transformada de Laplace.

Si esto fuera un decaimiento exponencial$I = I_0 + I_1 e^{-t/\tau}$después$A = I_1 \tau$. Entonces podemos estimar una constante de tiempo efectiva$\tau_e = A/I_1$que resultará tener una forma particularmente simple.

denotar$\tau_R = L/R$y$\tau_G = C/G$después

$\tau_e = \frac{1}{2}(\tau_R + \sqrt{\tau_R \tau_G})$

En la forma de onda anterior,$\tau_R = 4ns$ $\tau_G = 67ns$y$\tau_e = 20ns$lo que probablemente sea lo suficientemente bueno como para permitirle dibujar la forma de onda. La forma de onda no es un decaimiento exponencial, por lo que no estoy afirmando que esto sea exacto, sino que es una forma de estimar la forma de onda y el tiempo durante el cual varía.

Otro ejemplo:

R = 100, G = 0,01,$\tau_R = 1.7ns$ $\tau_G = 6.7ns$y$\tau_e = 5ns$

Otro:

R = 10, G = 0,01,$\tau_R = 16.7ns$ $\tau_G = 6.7ns$y$\tau_e = 27.2ns$

La forma en que simulé la respuesta transitoria fue usando una solución armónica de tiempo. La dependencia de la frecuencia de la impedancia característica vista a la entrada de un cable largo es bien conocida.

$Z_0(\omega) = \sqrt{\frac{R+j\omega L}{G+j\omega C}}$

Entonces, si conduce el cable desde una fuente sinusoidal, puede calcular la magnitud y la fase de la corriente desde$Z_0(\omega)$. Si conduce el cable con una onda cuadrada, puede descomponerlo en armónicos y calcular la amplitud y la fase de la corriente de cada uno, luego sumarlos para obtener la corriente total. Esto es todo lo que hice para las simulaciones anteriores. Bueno, hice una cosa más: me aseguré de sobremuestrear considerablemente y usé un filtro de paso bajo para minimizar el fenómeno de Gibbs en las transiciones, solo arreglé las tramas. Esto es un poco crudo y podría mejorarse.

Por supuesto, para aproximar la respuesta al escalón, debe tener cuidado de que el efecto del pulso anterior se haya disipado antes que el siguiente. Esto es relativamente fácil ya que se trata de una línea con pérdida: no tiende a almacenar la carga, por lo que generalmente se trata de esperar suficientes constantes de tiempo para que la carga se disipe. Las gráficas que mostré tenían los bordes muy juntos para mostrar el detalle transitorio, normalmente aumentarías los períodos para obtener una mejor aproximación del paso, como:

esto es solo 32k puntos, y la corriente es más de 60dB hacia abajo en el siguiente flanco ascendente, si eso no es suficiente, espere algunas constantes de tiempo adicionales. Por supuesto, esto depende de las diversas constantes de tiempo involucradas. Es autoverificador ya que calcula la corriente residual. Creo que esto podría hacerse para que sea lo suficientemente preciso para cualquier problema de ingeniería que pueda imaginar. Me interesaría saber de las aplicaciones donde puede fallar.

Alternativamente, podría buscar simular la respuesta del pulso en el dominio de Fourier. No puede obtener la respuesta de paso ya que tiene una energía infinita, pero puede obtener un pulso. Es solo una cuestión del tipo de cuadratura que usa en la integral de Fourier. Usar la aproximación de onda cuadrada es equivalente a simplemente muestrear en el dominio de la frecuencia, puede ser mejor que invierta la transformada de Fourier. Alternativamente, existe una extensa literatura sobre la inversión numérica de las transformadas de Laplace, y ese también podría ser un buen lugar para buscar.

Usted mencionó en un comentario que estaba considerando construir una solución en serie de potencias a partir de los teoremas de Laplace sobre derivadas y valores iniciales. Esto parece un trabajo duro, es probable que sea mucho más fácil trabajar directamente desde la serie de Laurent para la impedancia:

$\sqrt{\frac{G+sC}{R+sL}}$

de alfa :

esto te permite expresar directamente

$\frac{1}{s}\sqrt{\frac{G+sC}{R+sL}} = \sum \frac{a_n}{s^n}$

y te da una relación de recurrencia para los coeficientes$a_n$. Luego puede invertir este término por término para obtener la serie de Taylor para la respuesta al escalón.

Esto funciona: hice una mezcla muy rápida. Debe tener cuidado con la escala, pero aquí hay una trama típica:

R = 100, G = 0,01, línea de 50 ohmios, vf = 1, 100 términos en la serie, coeficientes calculados según la recurrencia en el sitio alfa aquí .

Sospecho que la mayor parte de la discrepancia en torno al impulso no es el estado de la línea sino el filtrado que usé para reducir el Gibbs. Estoy seguro de que esto podría haberse mejorado y, después de todo, nadie tiene un paso perfecto para llegar a la línea.

Me intriga si tiene una aplicación para esto o es un ejercicio académico. En los problemas que he encontrado, todo esto es un poco discutible ya que$R$no es constante sino que tiende a ser proporcional a$\sqrt{f}$debido al efecto piel y esto tiende a dar un$\frac{1}{\sqrt{t}}$término en la respuesta al escalón.

¡Gracias por el interesante problema!

Soy demasiado "viejo" (y "perezoso" :-) ...) para hacer un "cálculo matemático" completo de este efecto.
En general, consideramos los efectos de "frecuencia" y usamos las herramientas de "frecuencia" para calcular lo que sea necesario, porque los generadores aplican ondas repetitivas .

Pero a veces, también deberíamos usar las herramientas de "tiempo" para algunos sistemas, porque las características cambian con el "tiempo" y no solo con las "frecuencias ".

De este documento , solo puedo enumerar los efectos del efecto "piel" cuando se aplica un pulso de paso.
Debo agregar también este documento .

Podemos decir, en base a una analogía con la teoría del efecto pelicular de CA:
• Es probable que aumente la resistencia del circuito (dentro de un período transitorio) y aumente el calentamiento por julios
• La inductancia del conductor se modifica (dentro de un período transitorio)
• Un voltaje transitorio asociado con este transitorio También es probable que la impedancia genere discrepancias en la respuesta dinámica supuesta de un circuito dado (amortiguación inesperada y aumentada).
Por lo tanto, queda inmediatamente claro que ciertas situaciones experimentarán el efecto de piel transitorio
• Algunos circuitos electrónicos de potencia en modo conmutado • Transitorios del
sistema de alimentación tanto de CC como de CA
• Aplicaciones de CC pulsada

Solo recuerdo, en un laboratorio, que cuando aplicas solo un pulso de paso de potencia en una barra cilíndrica, uno no debe tocar la "barra" porque puede estar caliente en la parte superficial , pero puede estar frío por dentro , luego calor extenderse por dentro...