Relación entre la masa y el radio del agujero negro, y el [duplicado] de nuestro universo

El radio de Schwarzschild de un agujero negro es probablemente lo más cercano que podemos llegar a su pregunta.

$$r_s = (2G/c^2) \cdot m \mbox{, with }\ 2G/c^2 = 2.95\ \mbox{km}/\mbox{solar mass}.$$ Esto significa que el radio de Schwarzschild para una masa dada es proporcional a esa masa. El radio no debe tomarse demasiado literal en el sentido físico, porque el espacio es muy no euclidiano cerca de un agujero negro.

Radio actual (viaje de la luz) del universo visible, visto desde la Tierra:

$$13.81 \cdot 10^9\ \mbox{lightyears} = 13.81 \cdot 10^9 * 9.4607 * 10^{12}\ \mbox{km} = 1.3065\cdot 10^{23}\ \mbox{km}.$$ Así que necesitamos $$1.3065\cdot 10^{23}\ \mbox{km} / 2.95\ \mbox{km} =4.429 \cdot 10^{22}$$ masas solares para obtener un agujero negro del radio de Schwarzschild del viaje de la luz del universo visible, bastante cerca (por orden de magnitud) del número de estrellas estimado para el universo visible.

Los autores de Wikipedia obtienen un resultado similar: "La masa del universo observable tiene un radio de Schwarzschild de aproximadamente 10 mil millones de años luz".

De acuerdo con el modelo cosmológico estándar ΛCDM , el universo observable tiene una densidad de aproximadamente$\rho = 2.5\!\times\!10^{-27}\;\mathrm{kg/m^3}$, con una constante cosmológica de aproximadamente$\Lambda = 1.3\!\times\!10^{-52}\;\mathrm{m^{-2}}$, está muy cerca de ser espacialmente plano y tiene un radio propio actual de aproximadamente$r = 14.3\,\mathrm{Gpc}$.

De esto, podemos concluir que la masa total del universo observable es aproximadamente

$$M = \frac{4}{3}\pi r^3\rho \sim 9.1\!\times\!10^{53}\,\mathrm{kg}\text{.}$$ Dado que el universo en general no gira y no está cargado, es natural comparar esto con un agujero negro de Schwarzschild. El radio de Schwarzschild de tal agujero negro es $$R_s = \frac{2GM}{c^2}\sim 44\,\mathrm{Gpc}.$$ ¡Bien! Más grande que el universo observable.

Pero el espacio-tiempo de Schwarzschild tiene una constante cosmológica cero, mientras que la nuestra es positiva, por lo que deberíamos comparar esto con un agujero negro de Schwarzschild-de Sitter. La métrica SdS está relacionada con la de Schwarzchild por

$$1-\frac{R_s}{r}\quad\mapsto\quad1 - \frac{R_s}{r} - \frac{1}{3}\Lambda r^2,$$ y por nuestros valores tenemos $9\Lambda(GM/c^2)^2 \sim 520$. Esta cantidad es importante porque el horizonte de eventos del agujero negro y el horizonte cosmológico se acercan en $r$-coordinar cuando está cerca de $1$, una condición que crea una masa máxima posible para un agujero negro SdS para una constante cosmológica positiva dada. Para nuestro $\Lambda$, ese límite extremo da $M_\text{Nariai} \sim 4\!\times\!10^{52}\,\mathrm{kg}$, menor que la masa del universo observable.

En conclusión, la masa del universo observable no puede formar un agujero negro.

---

Bueno, no comprendemos completamente la materia negra, ¿verdad? Y fue apenas "ayer" que descubrimos la "energía negra", ¿no?

Si GTR con constante cosmológica es correcto, no necesitamos "comprenderlo completamente" para conocer su efecto gravitacional, que es en lo que se basa el cálculo. Si GTR está mal, lo que por supuesto es bastante posible, entonces podríamos estar viviendo en algún análogo de un agujero negro. Pero entonces no está claro qué teoría de la gravedad desea que usemos para tratar de responder la pregunta. No existe una teoría remotamente competitiva que se esté acercando a la aceptación general.

Desde la perspectiva de nuestra enorme ignorancia, creo que 14.3Gpc y 44Gpc no están separados ni en un orden de magnitud, lo que considero una buena aproximación.

En realidad, el punto de ese cálculo era mostrar que es al menos prima facie plausible. El cálculo del radio de Schwarzschild no descarta el agujero negro, todo lo contrario. Sin embargo, tampoco es apropiado por las razones que expliqué anteriormente. El más relevante en realidad tiene una masa de más de un orden de magnitud de diferencia y muestra inconsistencia. Entonces, si GTR con Λ es correcto, es poco probable porque las barras de error de ΛCDM no son tan malas.

Sin embargo, incluso si todavía lo tratamos como "lo suficientemente cerca", eso en sí mismo no implica lo que desea. La cuestión de qué tipo de agujero negro formaría toda la masa del universo observable, si lo hubiera, es bastante diferente de si estamos viviendo en uno o no. El hipotético negro necesita ser aún más grande.

Sin embargo, el mayor punto de incertidumbre es la constante cosmológica, incluso si GTR es correcto. Si se nos permite tener condiciones muy diferentes fuera de nuestro agujero negro hipotético, entonces todavía podríamos tener uno, pero luego nos metemos en una física muy especulativa en el mejor de los casos, y en el peor de los casos, simplemente hacemos conjeturas.

Entonces, trate la respuesta anterior como condicional a la física convencional; si eso no es lo que quiere, entonces no puede haber una respuesta general además de "no sabemos". Y esa es siempre una posibilidad, aunque no muy interesante.