Relación entre la fuerza neta y la energía cinética

Más completamente, con$K$la energía cinética,$U$la energía potencial y$W$el trabajo realizado, entonces:

$$W=\Delta K+\Delta U$$

Si no hay cambio en$U$($\Delta U=0$), entonces obviamente:

$$W=\Delta K$$

La Segunda Ley de Newton nos dice, con$F$la fuerza que actúa sobre un cuerpo de masa$m$, por simplicidad consideraremos$F=\text{constant}$:

$$F=ma$$

Hagamos esto en una dimensión, por simplicidad, es decir$x$:

La fuerza provoca un desplazamiento.$dx$y realiza el trabajo$dW$en la masa$m$:

$$dW=Fdx=madx$$

Un pequeño truco:

$$a=\frac{dv}{dt}=\frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt}=v\frac{dv}{dx}$$

Insertar en$dW$:

$$\implies dW=mvdv$$

De modo que:

$$\int_0^WdW=\int_{v_1}^{v_2}mvdv$$

$$\boxed{W=\frac12 mv_2^2-\frac12 mv_1^2=\Delta K}$$

Como está escrito en otra parte,$W$puede tomar cualquier valor, positivo o negativo (o cero). Una fuerza de frenado , por ejemplo, actuará en el sentido opuesto del vector de velocidad y provocará la desaceleración, de modo que$v_2<v_1$y$W<0$,$\Delta K<0$. ¡Así que cuida tus señales!

¡Por supuesto que podemos, esa es la segunda ley de Newton!$\vec{F}_{net}=m\vec{a}$

La única advertencia es, como mencionó Kyle, la aceleración ($\vec{a}$) es una cantidad vectorial, por lo que la energía cinética podría aumentar o disminuir (¡o incluso permanecer igual!) dependiendo de la dirección de la fuerza neta con respecto a la dirección de la velocidad de la partícula. Para que la energía cinética permanezca igual, la fuerza tendría que aplicarse perpendicular a la velocidad. ¡Piensa en órbitas (circulares)!

Entonces, ¿podemos también afirmar que la fuerza neta causa aceleración en la dirección de la fuerza neta y, por lo tanto, también provoca un aumento en la energía cinética del sistema?

$$KE = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m\vec v\cdot\vec v$$

$$\frac{d}{dt}KE = \frac{1}{2}m\frac{d\vec v}{dt}\cdot\vec v\, + \frac{1}{2}m\vec v \cdot \frac{d\vec v}{dt} = m\vec a \cdot \vec v = \vec F \cdot \vec v = Fv\cos \theta$$

dónde$-\pi \lt \theta \le \pi$es el ángulo entre los vectores fuerza y ​​velocidad.

Por lo tanto, para una fuerza neta distinta de cero, el cambio en la energía cinética en el tiempo$dt$puede ser positivo$(|\theta| \lt \pi/2)$, cero$(|\theta| = \pi/2)$, o negativo$(\pi/2\lt|\theta|\le\pi)$