Relación entre la coherencia temporal y la intensidad del patrón de interferencia

Observación Experimental

Lo primero que hay que hacer para entender este fenómeno es mirar los anillos de Newton desde la luz blanca, como analizo con más detalle aquí .

Solo podemos ver una banda estrecha de longitudes de onda, por lo que estamos viendo la suma de los patrones de interferencia con nulos en los radios.$0,\,\sqrt{4\,R\,\lambda},\,\sqrt{8\,R\,\lambda},\,\cdots$para$\lambda$variando entre$400{\rm nm}$y$750{\rm nm}$dónde$\lambda$es la longitud de onda para el componente de luz en cuestión y$R$el radio de curvatura de la superficie esférica presionada contra el plano óptico en el experimento de los anillos de Newton. Esto significa que el primer nulo ocurre en un rango de radios que varía solo en un rango de aproximadamente$\pm 20\%$- el ancho de "mancha" es mucho menor que la distancia entre el primer y el segundo nulo. Entonces, incluso con la dispersión en las longitudes de onda visibles, los primeros nulos se alinean bastante bien. El segundo nulo menos bien y así sucesivamente. Verá una serie de nulos coloreados: la coloración se debe a que las diferentes longitudes de onda tienen sus nulos en diferentes posiciones, pero los nulos aún están lo suficientemente bien alineados para ver su estructura. A medida que se aleja del centro, los nulos se vuelven más compactos y la precisión de la alineación para todas las longitudes de onda visibles se vuelve más gruesa que el espaciado de nulos, lo que significa que ya no podemos ver las franjas. Esto es exactamente lo que sucede en los anillos de Newton: la visibilidad marginal se desvanece rápidamente a medida que aumenta la distancia desde el centro.

Pongámonos cuantitativos y sucios

Supongamos que tenemos dos haces interfiriendo en un interfeómetro; deje que haya alguna diferencia de ruta compensada, grande (en comparación con el efecto en el instrumento)$\Delta$entre ellos y un mensurando$X$. Entonces la potencia de la interferencia en presencia de luz puramente monocromática es:

$$\begin{equation} \label{BasicInterference} p(\Delta + X)=\left|\frac{1}{\sqrt{2}}\left(e^{i\,\frac{k}{2}\,(\Delta + X)} - e^{-i\,\frac{k}{2}\,(\Delta + X)}\right) \right|^2 = 2\,\sin\left(\frac{k}{2}\,(\Delta + X)\right)^2 = 1-\cos\left(k\,(\Delta+X)\right) \end{equation}$$

dónde$k$es el número de onda. Supongamos ahora que hay una dispersión de longitudes de onda presentes, de modo que debemos formar la suma incoherente de todos estos términos de interferencia:

$$\begin{equation} p(\Delta + X)=\frac{\int_{-\infty}^\infty\,\left(1-\cos\left(\left(k_0+\frac{\omega}{c}\right)\,(\Delta+X)\right)\right)\,S(\omega)\,\mathrm{d}\omega}{\int_{-\infty}^\infty\,S(\omega)\,\mathrm{d}\omega} = 1- \frac{\int_{-\infty}^\infty\,\cos\left(\left(k_0+\frac{\omega}{c}\right)\,(\Delta+X)\right)\,S(\omega)\,\mathrm{d}\omega}{\int_{-\infty}^\infty\,S(\omega)\,\mathrm{d}\omega} \end{equation}$$

dónde$S(\omega)$si el espectro de la propagación,$k_0$es el número de onda central y$\omega$la desviación de frecuencia angular de este número de onda/frecuencia central. Ahora es una cuestión sencilla calcular la visibilidad marginal dado el espectro$S(\omega)$.

Formas de línea lorentziana

Con$S(\omega) = \left(1+\frac{4\,\omega^2}{\Omega^2}\right)^{-1}$dónde$\Omega$es el ancho completo, la mitad de la dispersión de frecuencia máxima, obtenemos:

$$\begin{equation} p(\Delta + X)=1-\cos\left(k_0\,(X+\Delta)\right) \,e^{-\left|\Omega\,\frac{X+\Delta}{2\,c}\right|} \end{equation}$$

y así la visibilidad marginal$\mathscr{V}$es$e^{-\left|\Omega\,\frac{X+\Delta}{2\,c}\right|}$. A medida que aumenta el ancho espectral, la suma de los dos haces es casi constante, con una pequeña variación sinusoidal en la parte superior. Entonces vemos franjas, pero son una finta estría en una iluminación casi constante.

Si convertimos esta expresión a una en términos de ancho completo, la mitad de la longitud de onda máxima$\Lambda$obtenemos:

$$\begin{equation} \mathscr{V} \approx e^{-\left|\Omega\,\frac{\Delta}{2\,c}\right|} = \exp\left(-\left|\pi \frac{\Lambda\,\Delta}{\lambda_0^2}\right|\right) \end{equation}$$

dónde$\lambda_0$es la longitud de onda central. La longitud de coherencia se define como la diferencia de trayectoria necesaria para reducir la visibilidad a$1/e$; esto es:

$$\begin{equation} L_c=\frac{\lambda_0^2}{\pi\,\Lambda} = \frac{2\,c}{\Omega} = \frac{c}{\pi\,\Delta\nu} \end{equation}$$

dónde$\Delta\nu$es la dispersión de frecuencia (no angular), de ancho completo, mitad del máximo. También podemos motivar la longitud de coherencia como el$1/e$longitud de correlación cuando pensamos en la onda de luz como un proceso aleatorio con densidad espectral de potencia$S(\omega) =\frac{2\,\sqrt{2}\,\sigma^2}{\sqrt{\pi}\,\Omega}\, \left(1+\frac{4\,\omega^2}{\Omega^2}\right)^{-1}$, dónde$\sigma$es la varianza. Por el teorema de Wiener-Khinchin, la función de autocorrelación de la serie temporal de la luz es$R(\tau) = \sigma^2\,e^{-\left|\tau\frac{\Omega}{2}\right|}$, de donde la$1/e$el tiempo de correlación es$2/\Omega$y así el$1/e$la longitud de la correlación es$2\,c/\Omega$como antes.

De hecho, no es difícil mostrar el resultado general, válido para cualquier espectro, de que la visibilidad de la franja es igual a la función de autocorrelación$R$de la serie temporal de luz normalizada (varianza unitaria) evaluada en el momento$\Delta/c$retraso provocado por la diferencia de trayectoria$\Delta$:

$$\mathscr{V} = \frac{R\left(\frac{\Delta}{c}\right)}{R\left(0\right)}$$

Demuestra este resultado con el teorema de Wiener-Khinchin.

Formas de línea gaussianas

Si el espectro es gaussiano, entonces$S(\omega) = \exp\left(-\frac{\omega^2}{2\,\Omega^2}\right)$para que ahora$\Omega$es la dispersión de frecuencia rms, o la desviación estándar de frecuencia, obtenemos:

$$\begin{equation} \mathscr{V} \approx e^{-\frac{\Delta^2\,\Omega^2}{2\,c^2}} = \exp\left(-2\,\pi^2\,\frac{\Delta^2\,\Lambda^2}{\lambda_0^4}\right) \end{equation}$$

donde ahora$\Lambda$es la extensión de la longitud de onda rms y la$1/e$longitud de coherencia es:

$$\begin{equation} L_c=\frac{\lambda_0^2}{\sqrt{2}\,\pi\,\Lambda} = \frac{\sqrt{2}\,c}{\Omega} = \frac{c}{\sqrt{2}\,\pi\,\Delta\nu} \end{equation}$$

dónde$\Delta\nu$es la dispersión de frecuencia rms.

La respuesta breve e intuitiva es que la coherencia temporal está relacionada con la visibilidad de la franja en función del retraso del tiempo. Si puede retrasar mucho el haz (en comparación con la escala de tiempo de oscilación) y las franjas aún son visibles, entonces tiene una gran coherencia. Si, por el contrario, las franjas desaparecen rápidamente a medida que retrasa el haz, hay poca coherencia.

Su experimento mental de poner un par de haces coherentes de diferentes colores en un interferómetro es un poco engañoso. Esto se debe a que la visibilidad marginal se mantendrá incluso con retrasos prolongados, aunque, como mencionó, el patrón de interferencia incluirá latidos entre las frecuencias. Un mejor contraejemplo de un láser monocromático sería una lámpara de banda ancha (como en un espectrómetro FTIR). La lámpara de banda ancha tiene una gran franja de interferencia con un retraso de tiempo cero, pero dado que es incoherente, las franjas desaparecen casi instantáneamente con cualquier retraso.