Derivación de la fórmula de difracción de Fraunhofer

Dibujemos un diagrama de la luz que golpea la rendija y se difracta por algún ángulo:

El rayo de luz en la parte inferior de la rendija tiene un desfase,$\phi$, en comparación con el rayo en la parte superior de la rendija porque tiene que viajar más lejos. Supongamos que el ángulo es aquel en el que el desfase es$2\pi$.

Ahora preguntemos cuál es el desfase de un rayo de luz que proviene de algún lugar de la rendija entre el rayo superior e inferior:

El rayo de luz viene de una distancia.$x$medida desde la parte superior de la rendija$0\le x \le a$. Es (con suerte) obvio a partir del diagrama que el desfase de este rayo de luz es:

$$\phi(x) = 2\pi\frac{x}{a} \tag{1}$$

Ahora considere dos rayos de luz, uno proveniente de la posición$x$y uno procedente$x+a/2$. Por ejemplo, estos podrían ser los dos rayos que describe en la pregunta, uno desde la parte superior de la rendija ($x=0$) y uno del medio ($x=a/2$), pero nos quedaremos con el caso general de cualquier valor de$x$.

El desfase del rayo de$x$viene dada por la ecuación (1) anterior, y el desfase del rayo desde$x = a/2$es dado por:

$$\begin{align} \phi(x+a/2) &= 2\pi\frac{x+a/2}{a} \\ &= 2\pi\left(\frac{x}{a} + \frac{a/2}{a}\right) \\ &= 2\pi\left(\frac{x}{a} + \frac{1}{2}\right) \\ &= 2\pi\frac{x}{a} + \pi \\ &= \phi(x) + \pi \end{align}$$

Así que lo que hemos encontrado es que dos rayos separados por una distancia$a/2$tiene una diferencia de fase de$\pi$. Esto responde a su pregunta de por qué un rayo desde la parte superior de la rendija y el centro de la rendija tienen una diferencia de fase de$\pi$, pero es un resultado más general.

La importancia de este resultado es que dos ondas con una diferencia de fase de$\pi$interfieren destructivamente y se anulan mutuamente. Entonces, para cada rayo en el rango$0 \le x \le a/2$, es decir, desde la mitad superior de la rendija, hay un rayo correspondiente en$x+a/2$, es decir, desde la mitad inferior de la rendija, que tiene una diferencia de fase de$\pi$y por lo tanto interfiere destructivamente.

Esto significa que toda la luz que se emite en el ángulo que dibujé interfiere destructivamente y la intensidad total es cero. Este ángulo, es decir, el ángulo donde el retraso de fase a través de toda la rendija es$2\pi$, corresponde a una región oscura en el patrón de difracción.