Colapso de función de onda y ecuación de Schrödinger sin medición

Siguiendo a von Neumann, el proceso de medición es solo un tipo especial de interacción entre dos sistemas, que sigue reglas especiales cuando se trata de promediar un observable específico.$X$.

Dejar$H$sea ​​un espacio de Hilbert,$(\Omega,\mathscr{B})$un espacio de Borel, con$\Omega\subseteq \mathbb{R}$y$\mathscr{B}$un borel$\sigma$-álgebra en$\Omega$. Por medio del teorema espectral, un observable autoadjunto está determinado únicamente por una medida con valor de proyección$X:\mathscr{B}\to \mathcal{L}(H)$tal que$X(\Omega)=1$. Aquí$\mathcal{L}(H)$denota los operadores acotados en$H$. Un estado del sistema$\rho$es un operador traza uno positivo (matriz de densidad).

En el estado$\rho$, la probabilidad de que el resultado de una medición de$X$está en el subconjunto$B\in \mathscr{B}$de valores posibles viene dada por

$$\mathrm{Prob}(X\in B; \rho)=\mathrm{Tr}[\rho X(B)]\; .$$

Ahora deja$K$ser otro espacio de Hilbert,$\sigma$un estado en$K$. Entonces la fórmula

$$\mathrm{Tr}[\rho E_\sigma(x)]=\mathrm{Tr}[(\rho\otimes\sigma) x]$$ dónde $x\in \mathcal{L}(H\otimes K)$, y $\rho$es un estado en $H$, define un mapa de los operadores en $\mathcal{L}(H\otimes K)$a los operadores de $\mathcal{L}(H)$tal que para cualquier operador $x=a\otimes 1$, dónde $1$es el operador de identidad, $E_\sigma(a\otimes 1)=a$.

Ahora, dado un observable$X$en un espacio de Hilbert$H$con espacio de valor$(\Omega,\mathscr{B})$, un proceso de medición para$X$es un cuádruple$(K,\tilde{X},\sigma,U)$que consta de un espacio de Hilbert$K$, un observable$\tilde{X}$en$K$con espacio de valor$(\Omega,\mathscr{B})$, un estado$\sigma$en$K$, y una evolución unitaria$U$en$H\otimes K$satisfaciendo la relación:

$$\begin{equation} \tag{1} X(B)=E_\sigma\bigl(U^*(1\otimes \tilde{X}(B))U\bigr) \end{equation}$$ para cualquier $B\in \mathscr{B}$. El espacio de Hilbert $K$representa el sistema de aparatos, lo observable $\tilde{X}$se entiende que es la posición del puntero en la escala del aparato de medición. La medida se lleva a cabo por la interacción entre $H$y $K$descrito por la evolución unitaria $U$que toma la forma $$U=e^{-it (H_{1}\otimes 1+1\otimes H_{2}+ H_{int})}\; ,$$ dónde $t\in\mathbb{R}$es el tiempo necesario para la medición.

El requisito (1) es equivalente a decir que la distribución de probabilidad$\mathrm{Prob}(X\in B;\rho)$de un resultado en$B\in\mathscr{B}$debe coincidir con la probabilidad$\mathrm{Prob}(\tilde{X}\in B;U(\rho\otimes\sigma)U^*)$del sistema evolucionado en el tiempo$t$.

Ahora bien, esta es la formulación matemática de un proceso de medición. Tenemos que observar que el proceso modifica el estado$\rho$, "colapsándolo" al estado$\rho^B$después de la medición, dada por

$$\rho^B= \frac{1}{\mathrm{Tr}[\rho X(B)]}\mathrm{Tr}_K \bigl[U(\rho\otimes\sigma)U^* (1\otimes \tilde{X}(B))\bigr]\; ,$$ dónde $\mathrm{Tr}_K$representa la traza parcial en $K$. Sin embargo, esta no es una operación física, sino una conveniencia que usamos porque nos gustaría considerar, después de la medición, el sistema $H$solo, y no todo el sistema $H\otimes K$. Sin embargo, para todo el sistema no ha sucedido nada diferente a la evolución habitual de Schrödinger.

Por supuesto que puedes pensar en evolucionar el sistema.$H\otimes K$por$U$independientemente del proceso de medición. Y comenzando con un estado$\rho\otimes \sigma$, obtendrás después de un tiempo$t$el estado$U(\rho\otimes\sigma)U^*$. Sin embargo, es sólo después de promediar parcialmente en$K$lo observable$(1\otimes \tilde{X}(B))$que obtuvimos el estado colapsado$\rho^B$. Y esta última operación es, en efecto, el acto de medir. Así que no veo cómo se derrumbaría el estado sin estar involucrado en el acto de medir.

¿Colapsará la función de onda sin medición?

Si y no. El colapso es una ficción a veces útil. A veces puedes fingir que un subsistema ha evolucionado hacia un estado particular, un estado colapsado.

Dado que todas las cuestiones se describen mediante funciones de onda, entonces, en principio, debería poder describir el colapso de la función de onda mediante la ecuación de Schrödinger. (aunque no sé cómo exactamente)

Simplemente escriba el estado del dispositivo utilizado para realizar la medición y utilice el hamiltoniano correcto para describir la interacción. Como cualquier evolución del tiempo. Describe el sistema, usa el hamiltoniano correcto.

La única diferencia entre colapsar y no colapsar es si miras la función de onda completa o si miras las piezas y pretendes que las piezas son todo.

El colapso es una ficción útil cuando fingir es más simple que no fingir y cuando fingir tampoco conducirá a errores.

El colapso no es un proceso físico que sucede. Es una ficción útil para simplificar en exceso algo real que ya sucedió. Lo que realmente sucedió es que el sistema evolucionó en piezas que ahora son independientes y seguirán siendo independientes.

Aquí hay un ejemplo simple. Tiene una superposición de una partícula libre gaussiana que va a la derecha y otra a la izquierda y se superponen. Como están superpuestas, las interacciones en la superposición dependerán de ambas ondas gausianas.

Pero podríamos esperar. Cuando esperamos, una gaussiana va a la izquierda (y se extiende) y la otra va a la derecha (y se extiende) y podemos empezar a apreciar la ficción de que solo hay una a la derecha yendo a la derecha y otra a la izquierda yendo a la izquierda. Pero en este momento sería prematuro, porque podrían golpear una barrera y reflejarse y comenzar a superponerse nuevamente.

Sin embargo, la función de onda se define en el espacio de configuración y hay otras partículas. Entonces, la onda que va hacia la derecha podría alcanzar una región del espacio de configuración donde esa partícula está cerca de otra partícula y podría desviarla. Esto significa que todo el alero en el espacio de configuración ha girado, la ola se dirige en el$\hat x_1$dirección ahora se desvía para ir un poco en el$\hat x_2$dirección también. Pero esa onda que va a la izquierda se acerca a otra partícula y esa onda se desvía en el$\hat x_3$dirección.

Y estas diferentes partículas descritas por$x_2,y_2,z_2$y$x_3,y_3,z_3$pueden agruparse en partículas descritas por$x_4,y_4,z_4$y$x_5,y_5,z_5$(con la partícula dos interactuando con la cuatro y la partícula 3 interactuando con la partícula 5). Y puede convertirse en una bola de nieve. Eventualmente, las dos ondas se han desviado en tantas direcciones diferentes en el espacio de configuración enormemente dimensional que, incluso si las ondas originales golpean barreras reales y se reflejan, es poco probable que la otra onda golpee una barrera en el lugar y el momento exactos. diríjalo para que los dos se superpongan.

Tan efectivamente, cada uno puede actuar como si fuera la única ola. Nadie trató de medir ningún operador específico. Pero el sistema se ha convertido en piezas que ahora se pueden tratar de forma independiente. Y así se vuelve aceptable e incluso potencialmente útil pretender que se ha convertido en una de esas dos olas.

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Gracias por la explicación detallada, pero he oído que tal hamiltoniano no sería unitario, por lo tanto, ¿sigue siendo cuestionable?

Si escribe la función de onda del sujeto y el dispositivo, entonces el hamiltoniano correcto que describe su interacción dará una evolución temporal unitaria. Y hará que el estado evolucione hacia un estado entrelazado donde el sujeto y el dispositivo se entrelazan con las diferentes proyecciones del sujeto se entrelazan con los diferentes estados del dispositivo.

Por ejemplo, podrías evolucionar$\left(\alpha\psi_{s1}+\beta\psi_{s2}\right)\otimes\psi_{d0}$en$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}+\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$. Esta es una evolución unitaria. Y definitivamente es diferente al colapso que evoluciona$\left(\alpha\psi_{s1}+\beta\psi_{s2}\right)\otimes\psi_{d0}$en$\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$con probabilidad$|\alpha|^2$y en$\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$con probabilidad$|\beta|^2$.

Sin embargo, cuando el estado del dispositivo está acoplado a un entorno, entonces las dos partes,$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$y$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$cada uno puede actuar como su propio mundo y actuar como si fuera la única parte de la función de onda.

El problema es que cuando tratas al sujeto, el dispositivo y el entorno, todo con la mecánica cuántica y todo con la evolución temporal unitaria dada por el hamiltoniano real, obtienes algo que actúa de la misma manera que el colapso. Así que comparemos los dos.

Bajo colapso insistes en que el mundo es descrito por$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$o es descrito por$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$(la escala general en realidad no afecta ninguna predicción, puede calcular$\langle\psi|\hat O|\psi\rangle/\ langle\psi|\psi\rangle$en lugar de$\langle\psi|\hat O|\psi\rangle$).

Hacer las matemáticas reales nos dice que el mundo está descrito por$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}+\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$pero en lugar de entusiasmarnos con lo diferentes que se ven en el papel, podemos investigar cómo se ven en el laboratorio.

Y la cuestión es que el segundo, correcto, se parecerá al primero. Un mundo descrito por$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}+\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$tendrá dos partes, una$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$parte y un$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$parte. Y cada uno actuará como si fuera la única parte en el mundo. Entonces el$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$parte evolucionará como si el mundo entero fuera descrito por$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$. Y el$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$parte evolucionará como si el mundo entero fuera descrito por$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$.

Entonces el estado real$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}+\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$será experimentalmente indistinguible de una predicción de que evolucionas en$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$o en$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$.

Las mayores barreras para las personas que no se sientan y simplemente hacen los cálculos para la interacción real (si se sentó y lo hizo, no hay forma de que pueda pensar que no fue unitario) es que las personas están acostumbradas a que les digan que hay dos evoluciones diferentes, una evolución unitaria del hamiltoniano y un colapso no unitario.

Y la realidad es que toda ciencia requiere una forma de relacionar aspectos de los modelos matemáticos con resultados experimentales y observacionales. Y el punto es que las personas que quieren tener un colapso solo relacionan el colapso con los resultados observacionales y experimentales y simplemente no discuten cuáles serían los resultados experimentales y observacionales de una función de onda regular.

Una vez que analice cómo se ven los resultados observacionales y experimentales de una función de onda regular, entonces verá que la evolución temporal unitaria regular produce algo que brinda los resultados observacionales y experimentales que realmente vemos.

Entonces, cada lado invoca la navaja de Occam.

Colapso la gente dice que es una tontería tener otros mundos (el$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$parte debe fingir que no hay$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$parte y la$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$parte debe fingir que no hay$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$parte) y dado que se oponen a que cualquier parte tenga ignorancia, postulan que debe haber solo una parte y así inventar una evolución completamente nueva solo para que cada parte pueda ser el único mundo en el universo en lugar de ser solo una parte independiente del universo .

La gente sin colapso, por otro lado, dice que es una tontería tener dos tipos totalmente diferentes de evolución temporal cuando la evolución temporal unitaria regular hace predicciones que coinciden exactamente con lo que realmente vemos. En cambio, predicen que el universo evoluciona para tener partes que actúan de forma independiente y, por lo tanto, cada una ignora lo que la otra es y está haciendo. Entonces el$\alpha\psi_{s1}\otimes\psi_{d1}$ puede fingir que no hay$\beta\psi_{s2}\otimes\psi_{d2}$parte (y viceversa) por la sencilla razón de que actúan de forma independiente.

La gente del colapso en realidad son solipsistas modernos. Y pueden afirmar que solo usan la navaja de Occam, aunque la gente que no colapsa también la usa.

Si te atrae el solipsismo, entonces te gustará el colapso y el precio a pagar es tener dos evoluciones. Y nunca verá ninguna evidencia de un colapso que no sea el solipsismo porque no hay un desencadenante o un momento en que sucede porque usted postuló una evolución temporal completamente nueva que tuvo cero consecuencias experimentalmente diferentes y todo lo que hizo fue permitirle afirmar que no puede No será un universo más grande que la parte a la que estás acoplado.

Si el solipsismo no le atrae, le parecerá una tontería inventar un proceso de colapso físico que no haga nuevas predicciones. Y te verás obligado a concluir que el universo tiene muchas partes/mundos y, experimentalmente, cada parte solo puede obtener datos sobre sí misma y esa es una limitación experimental que nunca se puede superar.

[Básicamente], ¿está diciendo que todo el colapso de la función de onda es solo algo para "adaptarse a los datos"?

Estoy diciendo que el colapso y el colapso hacen las mismas predicciones, simplemente extraen predicciones de las matemáticas de diferentes maneras. A algunas personas les parece una tontería hacer dos evoluciones temporales diferentes cuando una de ellas ya se puede usar para hacer las predicciones que coinciden perfectamente con lo que vemos. Otras personas se oponen al hecho de que las matemáticas predicen claramente que el universo evolucionará en partes que no pueden darse cuenta de lo que hacen las otras partes y preferirían postular un proceso de colapso mágico que hace que las diferentes partes estén solas en lugar de ignorantes.

Nadie hace predicciones diferentes. Un grupo de personas predice partes que cada una actúa como si la parte estuviera sola. El otro grupo de personas predice partes que están verdaderamente solas.

Hay una ligera posibilidad de distinguirlos, en que el grupo que los días actúan "como si" estuvieran solos, hay una capacidad super super diminuta de interactuar con el otro, no un cero perfecto. Entonces, si la gente del colapso realmente insistiera en que el colapso ocurrió en un momento o lugar en particular como un proceso físico y estuviera dispuesta a pagar dinero a la gente que no colapsa para que se demuestre lo contrario, entonces en principio es posible (aunque demasiado difícil de hacer realmente con un razonable). nivel de recursos y esfuerzo) para demostrar que la gente del colapso está equivocada.

El problema es que la gente que no colapsa dice que puede actuar "como si" el colapso hubiera ocurrido, exactamente cuando se vuelve demasiado difícil detectar la diferencia. Así que siéntete libre de actuar como si el colapso hubiera ocurrido cuando sea útil y apropiado hacerlo. Simplemente no te emociones por eso. Todo lo que significa es que la diferencia entre el colapso y lo que realmente predicen las matemáticas es demasiado difícil de notar y, por lo tanto, es seguro ignorarla.

Según la presentación estándar de QM, sí, hay un colapso.

La función de onda evoluciona en el espacio no de manera local, como, digamos, una partícula que viaja a lo largo de una línea, sino como evoluciona un globo cuando se le sopla aire.

Una medida o interacción es local; la función de onda: el globo colapsa, digamos dónde lo pinché con una aguja.

Pero aquí es donde reside el enigma: porque el globo colapsa de manera mecánica y causal, es decir, a través de la tensión.

Pero en la imagen de onda de QM, una vez que ocurre la medición o la interacción, ¿cómo colapsa la onda alejándose de allí? ¿Cómo se informa? No a través de una imagen más básica, porque QM es la imagen básica; es esta problemática de la localidad y el realismo la que se explora en experimentos mentales como EPR, etc.