Reconciliación de aisladores topológicos y orden topológico

El 'topológico' en orden topológico significa 'robusto contra CUALQUIER perturbación local'.

De acuerdo con tal definición, el aislador topológico no es 'topológico' ya que sus propiedades no son robustas contra NINGUNA perturbación local, como la perturbación que rompe la simetría de inversión de tiempo y U(1). Entonces, un nombre más apropiado para el aislador topológico es 'U (1) y aislador protegido por simetría de inversión de tiempo', que es un ejemplo de orden SPT.

Algunos ejemplos de estados ordenados topológicamente (en el sentido de 'robustos contra CUALQUIER perturbación local'):

1)$\nu=\frac{1}{3}$estado FQH

2)$Z_2$giro estado liquido

3)$\nu=1$estado IQH

4)$E_8$estado bosónico QH

Los ejemplos 3) y 4) no tienen cuasipartículas topológicas no triviales (es decir, no tienen estadísticas no triviales, ni degeneración topológica no trivial), pero tienen un estado de borde sin espacios que es 'robusto contra CUALQUIER perturbación local'.

-- Editar -- (Levanté algunas discusiones a continuación hasta aquí):

Hay dos tipos de topología en matemáticas. La "topología" en "orden topológico" está directamente relacionada con el primer tipo de topología en matemáticas, como en topología algebraica, homología, cohomología, categoría tensorial. La "topología" en "orden topológico" es diferente de la "topología" en "aislante topológico". La "topología" en "aislante topológico" está relacionada con el segundo tipo de topología en matemáticas, como en clase de mapeo, homotopía, teoría K, etc. El primer tipo de topología es algebraica, mientras que el segundo tipo de topología está relacionado con la variedad continua de dimensiones finitas. También podemos decir que el primer tipo de topología es "cuántica", mientras que el segundo tipo de topología es "clásica".

La forma correcta de describir cualquier fase con espacios (como órdenes topológicos y aisladores topológicos) es usar el primer tipo de topología: topología "cuántica", porque las fases con espacios generalmente interactúan. El segundo tipo de topología, la topología "clásica", se puede utilizar para describir la física de un solo cuerpo (incluye sistemas de fermiones libres). La topología "clásica" no se puede utilizar para describir sistemas de muchos cuerpos que interactúan, que necesitan una "topología cuántica".

Uno necesita ir más allá de la imagen del "nivel de energía de relleno" para comprender el orden topológico (el primer tipo de topología). Nuestra educación en física tradicional de la materia condensada (o física tradicional de muchos cuerpos) se trata casi por completo de "llenar niveles de energía" (como la teoría líquida de Landau Fermi, la teoría de bandas, etc.), que es una trampa que limita nuestra imaginación. El segundo tipo de topología (la "topología" en "aislante topológico") se puede entender en el marco de la imagen del "nivel de energía de relleno".

Para responder a la pregunta ¿Cuáles son las propiedades geométricas de los estados con orden topológico de las que podríamos deducir el orden topológico con algún tipo de número de Chern (pero sin partir de una teoría de campos de Chern-Simons y poniendo a mano la correcta ;) ) . ¿Hay algo como esto? Me gusta decir que el orden topológico es algebraico, no geométrico. Entonces, las invariantes topológicas de orden topológico son muy diferentes de los números de Chern. La degeneración del estado fundamental robusto y las fases geométricas no abelianas robustas de los estados fundamentales degenerados son las invariantes topológicas del orden topológico (que son los análogos del número de Chern).

Como mencionó, los aisladores topológicos (TI) son "topológicos" porque no se pueden conectar sin problemas a aisladores de banda triviales sin cerrar la brecha de banda (y sin romper cierta simetría). Simplemente generalice esto al caso de muchos cuerpos, podemos decir que los estados ordenados topológicamente se denominan "topológicos" porque no se pueden conectar sin problemas al estado del producto trivial sin cerrar la brecha de muchos cuerpos.

Para obtener una mejor comprensión, uno debe darse cuenta de que "topología" es un complemento de "geometría". Por geometría, queremos decir que hay un sentido de medición de la distancia y el ángulo, etc., y la forma y el tamaño del objeto son importantes. Mientras que por topología, queremos decir que uno puede deformar continuamente el objeto, y la forma o el tamaño no importan. Entonces, las propiedades topológicas son aquellas propiedades que pueden soportar la deformación continua del estado (por continuidad queremos decir sin encontrar una transición de fase cuántica). Para proteger las propiedades topológicas contra la deformación, siempre se requiere una brecha entre los estados fundamentales y los estados excitados. Entonces, la propiedad topológica solo se define para asuntos cuánticos con brechas (tanto TI como el orden topológico están dentro de este alcance). Por otra parte,

La distinción topológica/geométrica también se refleja en las herramientas matemáticas que usamos para estudiar la física. Para asuntos cuánticos con espacios, usamos herramientas topológicas como homotopía, cohomología, teoría K, teoría de categorías, etc. Para asuntos cuánticos sin espacios, usamos herramientas geométricas como la teoría de la gravedad (AdS/CFT).

El 'topológico' en orden topológico puede referirse a:

• El hecho de que la degeneración del estado fundamental sea sensible a la topología de la variedad (como lo menciona Motl).
• La teoría efectiva de baja energía es una teoría del campo topológico.
• Las excitaciones de baja energía son anyones que obedecen a una forma generalizada de estadísticas de intercambio. Esto entra en el ámbito de la teoría de nudos y temas relacionados, que es bastante "topológico".
• De hecho, estos anyones se entienden mejor como ejemplos de defectos topológicos, en lugar de una simple excitación energética. En el caso del efecto Hall cuántico son vórtices en el líquido Hall cuántico.
• Muchas propiedades del sistema no dependen de los detalles microscópicos (por ejemplo, la conductividad en el caso del efecto Hall cuántico). El sistema es insensible a las perturbaciones locales.
• Estos sistemas se caracterizan por la entropía de entrelazamiento topológico. La entropía de entrelazamiento contiene un término que no se escala con el tamaño del sistema. Es constante y se puede utilizar para identificar parcialmente el orden topológico.
• El sistema exhibe dualidad de borde a granel. Nuevamente, la forma exacta del borde es irrelevante.
• En cierto sentido, estos sistemas topológicos ordenados son tan especiales porque la configuración del estado fundamental tiene una simetría "mejorada" en comparación con los estados excitados (ruptura del orden topológico).
• El nombre 'orden topológico' también muestra la diferencia entre el orden más convencional utilizado en la teoría de Landau-Ginzburg. Los sistemas ordenados topológicamente no pueden describirse mediante el uso de parámetros de orden local, ya que la teoría efectiva de baja energía no tiene grados de libertad locales.
• El espacio de Hilbert asociado con anyons tiene algo de no localidad incorporado. Por ejemplo, una configuración de múltiples anyons no se describe mediante una suma directa de espacios de Hilbert de una sola partícula (uno asignado a cada anyon). La dimensionalidad del estado de muchos-anyones sigue reglas muy no triviales (por ejemplo, en el caso de los anyons de Fibonacci, la dimensión del espacio de Hilbert de n partículas crece de acuerdo con la secuencia de Fibonacci cuando introducimos más anyons en el sistema).

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