¿Qué tipo de efecto tendría la expansión cósmica sobre el movimiento planetario o la órbita kepleriana? [duplicar]

Question

¿Qué tipo de efecto tendría la expansión cósmica sobre el movimiento planetario o la órbita kepleriana? [duplicar]

Física
cosmología
movimiento orbital
expansión espacial
gravedad newtoniana
Mecánica celeste

sami m

La pregunta es, si se cree que los dos fenómenos siguientes afectan el movimiento del planeta que orbita alrededor de una estrella:

El cuerpo celeste es atraído por alguna estrella masiva por la gravedad newtoniana ordinaria:

metro \frac{d^{2} r}{d t^{2}} = - GRAMO \frac{METRO metro}{r^{2}}

$m \frac{d^2r}{dt^2} = - G \frac{Mm}{r^2}$

Hay un componente de velocidad radial adicional

\frac{d r}{d t} = k r, k << 1

$\frac{dr}{dt} = kr\ ,\qquad k << 1$ o (aproximación lineal):

r (t) = r_{0} (1 + k t), k << 1,

$r(t) = r_0 (1+ kt) , k << 1\ ,$

que tira del cuerpo $m$ lejos de la masa $M$ - y eso es independiente de la gravedad (eso significa que también ocurre en gravedad cero), ¿qué tipo de soluciones darían estas 2 reglas para las órbitas y pueden las órbitas ser estacionarias en algunas situaciones?

La ley de gravitación newtoniana solamente, cuando la masa $M \gg m$ , resultaría una órbita Kepleriana:

r (θ) = \frac{a (1 - {mi}^{2})}{1 + mi porque (θ)}

$r(\theta) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos(\theta)}$ es decir círculo, elipse, hipérbola o parábola.

Respuestas parciales:

A. Al menos el equilibrio del movimiento circular se puede mantener al principio simplemente exigiendo que la velocidad inicial del cuerpo no sea exactamente tangencial, sino que tenga una pequeña componente radial hacia adentro:

v_{i norte i t i a yo} = v_{t a norte} + v_{r},

$v_{initial} = v_{tan} + v_{r}\ ,$ dónde

v_{r} = - k r

$v_{r} = -kr$

Ahora la componente radial de la velocidad inicial cancelaría la velocidad radial $kr$ en tiempo inicial. Lo que daría lugar a la ecuación de equilibrio familiar para el movimiento circular:

v^{2} / r = GRAMO METRO / r^{2}

$v^2/r = GM/r^2$

B. Además, cuando el planeta se coloca en el punto de afelio de la órbita , donde la gravitación newtoniana es mínima y, de acuerdo con la ley de gravitación newtoniana, su velocidad sería perpendicular a $r$ y como mínimo, la velocidad inicial debe estar ligeramente hacia adentro de la velocidad tangencial $v$ , si este punto sería el verdadero punto afelio. A partir de esta condición inicial, la primera suposición es que la órbita o trayectoria resultante debería estar en algún lugar entre el círculo del afelio $r_{max}$ y círculo perihelio $r_{min}$ -al menos durante el primer ciclo.

La primera conjetura para la ecuación de la órbita es simplemente:

r (θ) = \frac{a (1 - {mi}^{2})}{1 + mi porque (θ)} (1 + k t)

$r(\theta) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos(\theta)}(1+kt)$ o

r (θ) = \frac{a (1 - {mi}^{2})}{1 + mi porque (θ)} {mi}^{k t},

$r(\theta) = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos(\theta)}e^{kt}\ ,$ si nada más (por ejemplo, la gravedad de otros planetas, el decaimiento orbital, etc.) efecto sobre el movimiento.

La razón por la que hago esta pregunta es que me gustaría pensar qué pasaría si la expansión cosmológica del universo afectara la mecánica celeste . He leído que no se cree que esto sea cierto, sin embargo, la expansión cósmica no está afectando al sistema solar . Pero si fuera cierto, la expansión cósmica estaría descrita aproximadamente por ecuaciones:

r = r_{0} (1 + H t)

$r = r_0(1 + Ht)$ que es una aproximación lineal cuando

t

$t$ es pequeño, o

\frac{d r}{d t} = H r,

$\frac{dr}{dt} = Hr\ ,$ que es otra aproximación cuando

t

$t$ es pequeña, cuya solución es una función exponencial.

Y el valor por $H$ estaría alrededor $H = 2.20 \times 10^{-18}\, \mathrm{s}^{-1}$ o $H = 6.93 \times 10^{-11}\, \mathrm{year}^{-1}$ , que es simplemente la constante de Hubble son las unidades [1/s] y [1/año].

Con este valor para $k$ , por ejemplo, la distancia Tierra-Luna 384000 km debería aumentar en 2,63 cm/año, y la distancia Tierra-Sol $150\times10^6\, \mathrm{km}$ aumentaría en 10,4 m/año, si nada anula este efecto.

Los valores observados son 3,8 cm/año (medidas de radar) y 10,4 cm/año (Eso es 100 veces menor. No sé cómo se mide realmente el valor de AU). Se cree que el sistema Luna-Tierra se separa debido a las fuerzas de las mareas, pero no me queda claro cuánto contribuye realmente este efecto al aumento de la distancia Tierra-Luna.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/2110/2451 y enlaces allí.

una mente curiosa

Posible duplicado de ¿Comenzaría la expansión métrica del espacio de orden 1AU si el sistema solar no estuviera dentro de una galaxia?

R. Rankin

Creo que si va a incluir estos efectos, también puede incluir la energía orbital perdida por la radiación gravitatoria.

Jim

la aceleración de la expansión del espacio se describe por

$\frac{\ddot a}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right)+\frac{\Lambda c^2}{3}$ donde

$\frac{\ddot a}{a}$ es la tasa básica de aceleración de expansión. El

$\rho$ yp

$p$ los términos son la densidad y la presión de la materia y el otro término es la energía oscura. En un sistema solar, la densidad de la materia es mucho mayor que en el espacio en promedio, por lo que domina. Por lo tanto, un sistema solar desacelera rápidamente su expansión, hasta el punto de que la expansión del espacio en un área densa como un sistema solar o una galaxia no es significativa de ninguna manera.

Jim

Hay un poco más que eso, pero ese punto básico sigue siendo válido. La densidad de la materia en los sistemas solares, etc. frena la expansión hasta casi detenerse. Ya tenemos ecuaciones que describen muy bien la expansión y también tienen en cuenta los diversos tipos de energía en el universo.

sami m

Gracias :) Supongo que este término Lambda proviene de la ecuación de campo de Einstein y se llama constante cosmológica y esta constante está presente en ambas ecuaciones de Friedmann. Y tiene presión negativa y una densidad constante. ¿Es posible también el siguiente pensamiento? Simplemente asumo directamente que la expansión cósmica expande todas las distancias en el sistema celestial que se mantiene unido por la gravedad. En otras palabras, aquí no es una fuerza la que expande las distancias entre los objetos celestes sino un término de velocidad (dr/dt) = Hr. cuando r(t) = r_0*exp(kt) o r(t) = r_0(1+kt) (posteriormente es una aproximación lineal)

Respuestas (2)

¿Qué tipo de efecto tendría la expansión cósmica sobre el movimiento planetario o la órbita kepleriana? [duplicar]

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/2110/2451 y enlaces allí.
Posible duplicado de ¿Comenzaría la expansión métrica del espacio de orden 1AU si el sistema solar no estuviera dentro de una galaxia?
Creo que si va a incluir estos efectos, también puede incluir la energía orbital perdida por la radiación gravitatoria.
la aceleración de la expansión del espacio se describe por $\frac{\ddot a}{a}=-\frac{4\pi G}{3}\left(\rho+\frac{3p}{c^2}\right)+\frac{\Lambda c^2}{3}$ donde $\frac{\ddot a}{a}$ es la tasa básica de aceleración de expansión. El $\rho$ yp $p$ los términos son la densidad y la presión de la materia y el otro término es la energía oscura. En un sistema solar, la densidad de la materia es mucho mayor que en el espacio en promedio, por lo que domina. Por lo tanto, un sistema solar desacelera rápidamente su expansión, hasta el punto de que la expansión del espacio en un área densa como un sistema solar o una galaxia no es significativa de ninguna manera.
Hay un poco más que eso, pero ese punto básico sigue siendo válido. La densidad de la materia en los sistemas solares, etc. frena la expansión hasta casi detenerse. Ya tenemos ecuaciones que describen muy bien la expansión y también tienen en cuenta los diversos tipos de energía en el universo.
Gracias :) Supongo que este término Lambda proviene de la ecuación de campo de Einstein y se llama constante cosmológica y esta constante está presente en ambas ecuaciones de Friedmann. Y tiene presión negativa y una densidad constante. ¿Es posible también el siguiente pensamiento? Simplemente asumo directamente que la expansión cósmica expande todas las distancias en el sistema celestial que se mantiene unido por la gravedad. En otras palabras, aquí no es una fuerza la que expande las distancias entre los objetos celestes sino un término de velocidad (dr/dt) = Hr. cuando r(t) = r_0*exp(kt) o r(t) = r_0(1+kt) (posteriormente es una aproximación lineal)

Lawrence B Crowell · Answer 1

Su pregunta tiene algo que ver con lo que algunas personas interpretan erróneamente como el origen de la anomalía de Pioneer. Como algunas personas señalan, hay algún problema con lo que sucede con un sistema solar en una galaxia. Realmente, la influencia de la constante cosmológica es más probable que ocurra en esa escala en lugar de un sistema estelar de planetas. Estableceré esto y abordaré algunos aspectos de esta pregunta.

Usaré la métrica estacionaria para el espacio-tiempo de De Sitter que contiene un cuerpo gravitatorio central

d s^{2} = (1 - \frac{2 metro}{r} - \frac{Λ r^{2}}{3}) d t^{2} - \frac{1}{(1 - \frac{2 metro}{r} - \frac{Λ r^{2}}{3})} d r^{2} - r^{2} (d θ^{2} + s i {norte}^{2} θ d ϕ^{2}) .

$ds^2~=~\left(1~-~\frac{2m}{r}~-~\frac{\Lambda r^2}{3}\right)dt^2~-~\frac{1}{\left(1~-~\frac{2m}{r}~-~\frac{\Lambda r^2}{3}\right)}dr^2~-~r^2(d\theta^2~+~sin^2\theta d\phi^2).$ Aquí

m = G M / c^{2}

$m~=~GM/c^2$ y el parámetro de Hubble es

H^{2} = Λ / 3 c^{2}

$H^2~=~\Lambda/3c^2$ y

Λ ≃ 10^{- 52} m^{- 2}

$\Lambda~\simeq~10^{-52}m^{-2}$ . Ahora tome la aproximación de campo débil y establezca la órbita en el plano con

θ = π / 2

$\theta~=~\pi/2$

d s^{2} = (1 - \frac{2 metro}{r} - \frac{Λ r^{2}}{3}) d t^{2} - d r^{2} - r^{2} d ϕ^{2} .

$ds^2~=~\left(1~-~\frac{2m}{r}~-~\frac{\Lambda r^2}{3}\right)dt^2~-~dr^2~-~r^2d\phi^2.$ La órbita en tiempo coordinado con

r d ϕ = v_{ϕ} d t

$rd\phi~=~v_\phi dt$ está contenido en el factor gamma general de Lorentz

C^{2} Γ^{- 2} = {(\frac{d s}{d t})}^{2} = C^{2} (1 - \frac{2 GRAMO METRO}{r C^{2}} - \frac{Λ r^{2}}{3}) - v_{r}^{2} - v_{ϕ}^{2},

$c^2\Gamma^{-2}~=~\left(\frac{ds}{dt}\right)^2~=~c^2\left(1~-~\frac{2GM}{rc^2}~-~\frac{\Lambda r^2}{3}\right)~-~v_r^2~-~v_\phi^2,$ donde se restauran todas las constantes.

En relatividad especial sabemos que la energía cinética de una partícula está dada por $K~=~(\gamma~-~1)mc^2$ . Consideremos ahora el movimiento de una partícula de masa $m$ , no debe confundirse con $m~=~GM/c^2$ para avanzar el hamiltoniano en este límite de campo débil

H = \frac{{pag}_{r}^{2}}{2 metro} + \frac{{pag}_{ϕ}^{2}}{2 metro} - \frac{GRAMO METRO metro}{r} - \frac{metro C^{2} Λ r^{2}}{6},

$H~=~\frac{p_r^2}{2m}~+~\frac{p_\phi^2}{2m}~-~\frac{GMm}{r}~-~\frac{mc^2\Lambda r^2}{6},$ que ahora se puede usar para resolver dinámicas

{\dot{pag}}_{r} = - \frac{\partial H}{\partial r} = \frac{1}{2 metro} \frac{\partial {pag}_{ϕ}^{2}}{\partial r} - \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}} + \frac{metro C^{2} Λ r}{3} .

$\dot p_r~=~-\frac{\partial H}{\partial r}~=~\frac{1}{2m}\frac{\partial p_\phi^2}{\partial r}~-~\frac{GMm}{r^2}~+~\frac{mc^2\Lambda r}{3}.$ Para movimiento circular

p_{ϕ} = ω r

$p_\phi~=~\omega r$ y el lado izquierdo es cero. Esto recupera la ecuación de libro de texto estándar modificada con la fuerza del oscilador armónico en la dirección opuesta a la versión estándar. La constante cosmológica produce entonces una fuerza similar a un resorte que aumenta en la dirección de extensión.

Si uno persiguiera esto, entonces los métodos de perturbación podrían ser apropiados. Claramente por el radio $r$ apropiado para un sistema estelar de planetas $r~\sim~10^{10}$ a $10^{11}m$ eso $|\frac{GM}{r^2}|~>>~|\frac{c^2\Lambda r}{6}|$ . La diferencia está alrededor $22$ órdenes de magnitud, lo que significa que el papel de la constante cosmológica en los sistemas estelares de planetas es insignificante. Entonces podemos considerar esto para toda una galaxia. Aquí estos dos términos son bastante comparables. Sin embargo, sabemos que las galaxias tienen una dinámica que no es Kepleriana. Esto se debe al hecho de que las estrellas de una galaxia están inmersas en materia oscura. Dejar $\rho~=~M_d/vol$ sea la densidad de esta materia oscura. La ley de Gauss nos da como una aproximación de placa de caldera una fuerza debida a esta materia oscura.

4 π r^{2} F = 4 π GRAMO {METRO}_{d} = dieciséis π GRAMO ρ r^{3} / 3

$4\pi r^2 F~=~4\pi GM_d~=~16\pi G\rho r^3/3$ entonces esta fuerza tiene magnitud

F = 4 π G ρ r / 3

$F~=~4\pi G\rho r/3$ . Ahora uno tiene que incluir este término que da

H = \frac{{pag}_{r}^{2}}{2 metro} + \frac{{pag}_{ϕ}^{2}}{2 metro} - \frac{GRAMO METRO metro}{r} + \frac{(8 π GRAMO ρ - metro C^{2} Λ) r^{2}}{6} .

$H~=~\frac{p_r^2}{2m}~+~\frac{p_\phi^2}{2m}~-~\frac{GMm}{r}~+~\frac{(8\pi G\rho~-~mc^2\Lambda)r^2}{6}.$ Este término domina en gran medida la dinámica. De hecho, la fuerza de la materia oscura es aproximadamente un orden de magnitud mayor. En este caso, por supuesto, la dinámica orbital de las estrellas alrededor de las galaxias, excepto muy cerca del agujero negro central, no es en absoluto kepleriana.

Gracias por la interesante respuesta. Comenzaste con esa ecuación métrica, que parece ser una combinación de la métrica de Schwarzschild + la constante cosmológica. Pero, ¿y si empiezo con la siguiente métrica? $ds^2 = e^{2kt} * ds_{n}^2$ o $ds^2 = (1 +2kt)ds_{n}^2$ , dónde $ds_{n}^2$ es el cuadrado del elemento de línea en la métrica que proporcionó anteriormente, o la métrica sin ese término lambda, y k está en algún lugar cerca $2.2*10^-18[1/s]$ ¿Esa es la constante de Hubble? Simplemente asumo diferentes métricas allí ad hoc.
O siguiendo en el espacio plano, la métrica en escala cosmológica podría ser $ds^2 = c^2dt^2 - e^{2kt} a^2(t)(dx^2 + dy^2 + dz^2)$ , donde a(t) es el factor de escala ordinario que proviene de la ecuación 1.Friedmann. Escribo esto aquí solo para asegurarme de qué tipo de modificaciones me refiero.
Pongo aquí también el espacio vacío plano sin modificación de ecuación métrica lambda (cantidad mínima de materia y radiación, sin constante cosmológica): $ds^2 = c^2dt^2 - e^{2kt}(dx^2 + dy^2 + dz^2)$ pero esto es lo mismo que la métrica del universo lambda solamente. Estoy pensando por esta modificación ** que el espacio ad hoc se expande independientemente de la gravedad ** por factor $e^{kt}$ o $(1 +kt)$ y este factor se agrega solo en dr ^ 2 o en ambos términos dr ^ 2 y dt ^ 2 en el lado derecho. (tengo que comprobar cuál es el correcto)
He publicado una segunda parte de esto. Hice un poco más de análisis, que aún no está completo, pero es ilustrativo. Hay alguna razón para pensar que durante miles de millones de años hay una migración notable de órbitas planetarias que tienen cierta excentricidad.
todavía tengo un 'monstruo métrico' aquí: $ds^2 = e^{2k(1-\sqrt{1-\frac{r_s}{r}})(t-t_0)}[ (1-\frac{r_s}{r})c^2dt^2-(1-\frac{r_s}{r})^{-1}dr^2+r^2(d\theta^2 + sin^2\theta d\phi^2)]$ que es la métrica de schwarchild modificada, que cambia según el tiempo adecuado. Solo estoy mostrando de qué tipo de métricas hablo.

Lawrence B Crowell · Answer 2

Para continuar con esto como una adición, jugué con algo de esto. Está claro que para una órbita circular, la constante cosmológica solo ajustará ligeramente el radio. No habrá cambio en el radio de la órbita con el tiempo. Para una órbita elíptica, esto podría ser diferente durante un período de tiempo muy largo. Continuaré con esta ecuación dinámica modificada por $mc^2\Lambda r^2/6$ potencial. Reescribo el hamiltoniano como

H = \frac{{pag}_{r}^{2}}{2 metro} + \frac{L^{2}}{2 metro r^{2}} - \frac{GRAMO METRO metro}{r} + \frac{metro C^{2} Λ r^{2}}{6} .

$H~=~\frac{p_r^2}{2m}~+~\frac{L^2}{2mr^2}~-~\frac{GMm}{r}~+~\frac{mc^2\Lambda r^2}{6}.$ Estamos interesados en la dinámica radial y la ecuación de Hamilton es

\frac{d {pag}_{r}}{d t} = - \frac{\partial H}{\partial r} = \frac{L^{2}}{metro r^{3}} \frac{\partial {pag}_{ϕ}^{2}}{\partial r} - \frac{GRAMO METRO metro}{r^{2}} + \frac{metro C^{2} Λ r}{3} .

$\frac{dp_r}{dt}~=~-\frac{\partial H}{\partial r}~=~\frac{L^2}{mr^3}\frac{\partial p_\phi^2}{\partial r}~-~\frac{GMm}{r^2}~+~\frac{mc^2\Lambda r}{3}.$ Cambiamos de variable con

u = 1 / r

$u~=~1/r$ y sustituir

d t = d ϕ / ω

$dt~=~d\phi/\omega$

ω = L / m r^{2}

$\omega~=~L/mr^2$ por lo que esta ecuación diferencial es

\frac{d^{2} tu}{d ϕ^{2}} + tu + \frac{λ}{3 ℓ^{2} {tu}^{3}} = \frac{metro}{ℓ^{2}},

$\frac{d^2u}{d\phi^2}~+~u~+~\frac{\lambda}{3\ell^2 u^3}~=~\frac{m}{\ell^2},$ y

ℓ

$\ell$ Momento angular por masa. Esta ecuación es una forma perturbada de la ecuación estándar para la dinámica Kepleriana con

u (t) = c_{1} \sin ϕ + c_{2} \cos ϕ + C

$u(t)~=~c_1~\sin\phi~+~c_2~\cos\phi~+~C$ .

Tratamos la perturbación $\frac{\lambda}{3\ell^2 u^3}$ mediante el uso

tu = \frac{metro}{ℓ^{2}} (1 + mi porque ϕ), metro = GRAMO METRO / C^{2} .

$u~=~\frac{m}{\ell^2}(1~+~e~\cos\phi),~m~=~GM/c^2.$ Para pequeñas excentricidades tenemos

u^{- 3} ≃ \frac{m}{ℓ^{2}} (1 + 3 e \cos ϕ))

$u^{-3}~\simeq~\frac{m}{\ell^2}(1~+~3e~\cos\phi))$ y se utilizan soluciones especiales

ϕ \sin ϕ

$\phi\sin\phi$ para encontrar la solución

tu (t) ≃ \frac{metro}{ℓ^{2}} (1 + mi porque ϕ + 3 λ ℓ^{3} mi ϕ pecado ϕ) = \frac{metro}{ℓ^{2}} (1 + mi porque (1 - 3 λ ℓ^{3} ϕ))

$u(t)~\simeq~\frac{m}{\ell^2}\left(1~+~e~\cos\phi~+~{3\lambda}{\ell^3}e\phi~\sin\phi\right)~=~\frac{m}{\ell^2}\left(1~+~e~\cos\left(1~-~{3\lambda}{\ell^3}\phi\right)\right)$ Esto creará una precesión del orden de

10^{- 10}

$10^{-10}$ veces la precesión de la órbita de Mercurio. El siguiente término de orden a

e^{2}

$e^2$ será

\sim \frac{3 λ}{ℓ^{3}} e^{2} ϕ^{2} \sin^{2} ϕ

$\sim~\frac{3\lambda}{\ell^3}e^2\phi^2~\sin^2\phi$ Esto producirá un cambio en el radio orbital con el radio inicial

R

$R$

\frac{\bar{d} r (t)}{R} \sim \frac{3 λ}{ℓ^{3}} {mi}^{2} ϕ^{2} ≃ \frac{3 λ}{ℓ^{3}} {mi}^{2} t^{2} .

$\frac{\overline\delta r(t)}{R}~\sim~\frac{3\lambda}{\ell^3}e^2\phi^2~\simeq~\frac{3\lambda}{\ell^3}e^2t^2.$ Para una órbita comparable a la Tierra

\frac{\bar{δ} r (t)}{R} \sim 10^{- 33}

$\frac{\overline\delta r(t)}{R}~\sim~10^{-33}$ a

10^{- 34} s^{- 2} \times t^{2}

$10^{-34}s^{-2}\times t^2$ . Un período de mil millones de años cambiará el radio por un factor de

10^{- 2}

$10^{-2}$ a

10^{- 1}

$10^{-1}$ , o para la Tierra sobre

0.01 A U

$0.01\,\mathrm{AU}$ a

0.1 A U

$0.1\,\mathrm{AU}$ . Esto implica que la Tierra ha migrado hacia el exterior desde su origen. A continuación se muestra un gráfico de este proceso que es muy exagerado.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Este es un tema interesante a seguir. El Sol primitivo, cuando surgió la vida en la Tierra, era sólo $0.75$ tan luminosa como hoy. Esto significa que la Tierra habría recibido tanta radiación solar como la que recibe Marte hoy. La temperatura media en la Tierra habría sido de unos $-100^\circ \mathrm{C}$ e incluso con una más gruesa $CO_2$ atmósfera esto todavía habría dejado a la Tierra como un lugar muy helado. Sin embargo, si la Tierra estuviera en $0.85\,\mathrm{AU}$ temprano en la Tierra habría recibido cerca de $80\%$ de la radiación solar actual, que con $CO_2$ atrapar el calor habría evitado que la Tierra primitiva fuera una bola de hielo.

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