¿Qué tan grande es la Esfera de Influencia gravitacional de la Tierra y cómo se puede calcular?

Hay un par de definiciones, pero la más útil se llama Hill Sphere . Esencialmente, esta es el área alrededor de la cual uno puede orbitar alrededor de un objeto y no ser arrastrado por otro objeto (como el Sol). Como dice el artículo vinculado, se puede calcular para objetos que tienen un objeto mucho más masivo que el otro (Casi todos los casos de interés) usando la siguiente fórmula:

$r \approx a (1-e) \sqrt[3]{\frac{m}{3 M}}$

Dónde$e$es la excentricidad de la órbita,$m$es el objeto menos masivo, y$M$es el objeto más masivo, y$a$es el semieje mayor (Distancia entre objetos).

Suponiendo una órbita circular, lo que facilita las matemáticas, da como resultado que la distancia sea:

$r \approx a \sqrt[3]{\frac{m}{3 M}}$

Earth's Hill Sphere tiene alrededor de 1,500,000 km, como se muestra en este gráfico de Wikipedia .

Esfera de influencia

La esfera de influencia gravitacional pregunta cuál de los dos cuerpos gravitatorios debe usarse como origen para modelar el comportamiento de algún tercer cuerpo, como una nave espacial. Esto entra en juego en al menos dos lugares clave:

• En una aproximación cónica parcheada, ¿cuál es el lugar correcto para cambiar de una cónica a otra?

• Cuando una nave espacial se aleja de un cuerpo grande y se acerca a un cuerpo más pequeño, ¿cuándo debe cambiar la navegación de la nave espacial de un punto de vista centrado en un cuerpo grande a uno centrado en un cuerpo pequeño?

Al mirar las cosas desde la perspectiva de un marco de referencia con su origen en el centro del cuerpo más pequeño, la aceleración gravitacional hacia el cuerpo más grande se calcula como un "efecto del tercer cuerpo" (perdón por la nomenclatura confusa, no es mía) . La respuesta a las preguntas anteriores (dónde debo cambiar las cónicas parcheadas/dónde debo cambiar mi software de vuelo) es la superficie en la que esta perturbadora aceleración del tercer cuerpo es igual en magnitud a la aceleración gravitacional hacia el cuerpo más pequeño. Esta superficie tiene una forma bastante compleja, aproximadamente la de un esferoide achatado, pero no puede expresarse en términos de funciones elementales. Sin embargo, el lugar "correcto" a lo largo de la línea que conecta los dos cuerpos se puede expresar simplemente. En relación con el cuerpo más pequeño, esta distancia es$R\left(\frac m M\right)^{2/5}$, dónde$R$es la distancia entre los dos cuerpos,$m$es la masa del cuerpo más pequeño, y$M$es la masa del cuerpo mayor.

¿Quién desarrolló este concepto? Buena pregunta. Algunos libros de texto aeroespaciales llaman a esto la esfera de influencia de Lagrange después de Joseph-Louis Lagrange, otros la llaman la esfera de influencia de Tisserand después de Felix Tisserand, y otros simplemente la llaman la esfera de influencia, punto.

esfera de la colina

La esfera de Hill hace una pregunta bastante diferente: dado un cuerpo más pequeño que orbita un cuerpo más grande, ¿puede un cuerpo aún más pequeño orbitar el cuerpo más pequeño? La esfera de Hill (también conocida como la esfera de Roche) mira las cosas desde la perspectiva de la energía en lugar de la fuerza. Uno de los desarrollos clave iniciados por Lagrange fue cambiar el enfoque newtoniano en la fuerza para centrarse en cambio en la energía. La física lagrangiana y, más tarde, la física hamiltoniana, fueron reescrituras completas de la mecánica clásica. En muchos casos, particularmente donde se conserva la energía, tiene mucho más sentido mirar las cosas desde la perspectiva de la energía en lugar de la fuerza.

Entonces, ¿qué determina si una órbita es estable? La respuesta es muy compleja. En el problema de los tres cuerpos, si ese tercer objeto permanece dentro de un límite extremadamente complejo llamado lóbulo de Roche, la órbita de ese tercer objeto alrededor del cuerpo más pequeño será estable durante al menos una cierta cantidad de tiempo. El lóbulo de Roche solo toca los puntos L1 y L2 y se abre en abanico desde allí. George Hill usó el punto L1 para definir una esfera que se aproximaba al lóbulo de Roche. Esto todavía es intratable; el punto L1 está definido por un polinomio de quinto orden que no se puede resolver en términos de las funciones elementales. Hill simplificó aún más las cosas al darse cuenta de que una ecuación cúbica simple produce una muy buena aproximación de esa ecuación intratable de quinto orden. El resultado es$R\left(\frac m {3M}\right)^{1/3}$.

Entonces, ¿cuál es "correcto"?

Entonces, ¿cuál es "correcto", la esfera de influencia de Lagrange/Tisserand o la esfera de Hill? En primer lugar, es importante tener en cuenta que ambas son aproximaciones. Esto enturbia las aguas en cuanto a cuál es "correcto". Más importante aún, los dos conceptos abordan cuestiones muy diferentes. Si está planeando una misión para enviar una nave espacial a la Luna o a algún otro planeta, debe usar la esfera de influencia. De manera similar, probablemente debería usar la esfera de influencia si está construyendo el subsistema de guía y navegación para esa nave espacial. Por otro lado, si está trayendo un asteroide a la Tierra para minarlo, probablemente quiera colocarlo en una órbita retrógrada selenocéntrica distante. Ahora la esfera de Hill es la elección correcta con respecto a la órbita en la que colocas tu asteroide.

En lo que respecta a la pregunta, la esfera de influencia es la respuesta correcta simplemente porque el interrogador preguntó sobre la esfera de influencia, no sobre la esfera de Hill. Ya sea Lagrange o Tisserand, ambos tienen una "esfera de influencia" que nombra precedencia sobre Hill simplemente porque ambos son anteriores a Hill.

Admito que eso es ser ridículamente quisquilloso. La respuesta "correcta" es que los dos conceptos abordan dos cuestiones diferentes. Ambos son "correctos".

Fuentes:

Esfera de influencia: http://en.wikipedia.org/wiki/Sphere_of_influence_(astrodynamics) , o prácticamente cualquier libro de texto sobre el campo de la astrodinámica dentro de la ingeniería aeroespacial. Por ejemplo, tanto Vallado ( Fundamentos de astrodinámica y aplicaciones ) como Bate, Mueller y White ( Fundamentos de astrodinámica ) escriben sobre la esfera de influencia.

Esfera de Hill: http://en.wikipedia.org/wiki/Hill_sphere , o prácticamente cualquier libro de texto o artículo de revista que aborde las variedades invariantes aplicadas a la exploración espacial. Por ejemplo, Koon, Lo, Marsden y Ross ( Dynamical Systems, the Three-Body Problem and Space Mission Design ) escriben sobre la esfera de Hill.

Esto es lo que uso en clase, estas son fórmulas estándar de cualquier libro de texto. Definir 2 funciones

sphereOfInfluence[dominantMass_, minorMass_, distanceBetween_] := 
   (minorMass/dominantMass)^(2/5)*distanceBetween

sphereOfGravitation[dominantMass_, minorMass_, distanceBetween_] := 
   (minorMass/dominantMass)^(1/2)*distanceBetween
   (*valid only for  minorMass<<dominantMass*)

Por ejemplo, para encontrar la tierra SOI con el sol

sunMass = 1.989*10^30;
earthMass = 5.944*10^24;
earthSunDistance = 1.495978*10^8;
earthSOI = sphereOfInfluence[sunMass, earthMass, earthSunDistance]

(* 922790.  in km *)

Para encontrar la luna SOI con la tierra

earthMass = 5.944*10^24;
moonMass = 7.3483*10^22;
moonEarthDistance = 384400;
moonSOI = sphereOfInfluence[earthMass, moonMass, moonEarthDistance]

(* 66317.3  in km *)

Para encontrar la esfera de influencia gravitacional de la tierra con el sol

earthgSOI = sphereOfGravitation[sunMass, earthMass, earthSunDistance]
(* 258611. km *)

Como era de esperar, la esfera de influencia gravitacional es mucho más pequeña que la SOI.