¿Qué tan denso tendría que ser el planeta tierra para tener la misma gravedad que Júpiter?

Hay al menos dos interpretaciones a este problema:

Según Wikipedia , la gravedad de la superficie de Júpiter es$2.528$veces la de la Tierra. Así, si la Tierra fuera$2.528$veces más denso, tendría la misma gravedad superficial que Júpiter. La densidad de corriente de la Tierra es$5.514$gramos por centímetro cúbico, por lo que la nueva densidad sería$2.528 \times 5.514$, o sobre$13.9394$gramos por centímetro cúbico. Esto supone que cambiamos la masa de la Tierra, pero no su radio.

La respuesta de @Rob_Jeffries asume que la masa de la Tierra permanece constante y el radio cambia. Si el radio se reduce por un factor de$2$, el volumen disminuye por un factor de$8$, y el planeta se vuelve 8 veces más denso. La gravedad superficial aumenta en$4$, ya que depende del radio al cuadrado. En general, reducir el radio del planeta en$x$aumentará la densidad en$x^3$y la gravedad por$x^2$. Si queremos la gravedad$2.528$veces mayor, elegimos$x = \sqrt{2.528}$o a la vuelta$1.590$. Esto hace$x^3$igual a aproximadamente$4.019$. Multiplicando eso por la densidad actual de la Tierra de$5.514$, obtenemos$22.16$gramos por centímetro cúbico, bastante cerca de lo que obtuvo Rob.

Entonces, realmente no puedes cambiar la densidad sin cambiar nada más: o la masa o el volumen deben cambiar.

Solo necesitas dos fórmulas. El campo gravitacional de una distribución de masa esféricamente simétrica viene dado por

$$g = \frac{GM}{R^2},$$ donde $M$es la masa dentro de un radio $R$. La segunda fórmula es la densidad promedio de una esfera es su masa dividida por su volumen, por lo tanto $$\rho = \frac{M}{(4/3)\pi R^3}$$

Obviamente, estas dos fórmulas se pueden juntar para dar el campo gravitatorio en función de la masa y la densidad.

$$g = \frac{GM}{(3M/4\pi \rho)^{2/3}}$$ $$\rho = \frac{3}{4\pi} g^{3/2} M^{-1/2} G^{-3/2}$$

Usando$g=24.8$milisegundo$^{2}$para la gravedad superficial de Júpiter y$M=6\times10^{24}$kg para la masa (invariable) de la Tierra. Obtenemos$\rho = 22096$kg/m3$^{3}$.

Tenga en cuenta que mi respuesta asume que la masa de la Tierra es fija. Si en cambio cambia la masa y deja el radio fijo:

$$\rho = \frac{3g}{4\pi G R}$$ lo que da $\rho = 13930$kg/m3 $^{3}$.

¡No puedes dejar la masa y el radio fijos!